2015年福州市高中毕业班质量检测

文科数学能力测试

（完卷时间：120分钟；满分：150分）

注意事项：

1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；

2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．

参考公式：

1．样本数据
的标准差

，

其中
为样本平均数；

2．柱体体积公式：
，

其中
为底面面积，
为高；

3．锥体体积公式：
，

其中
为底面面积，
为高.





第Ⅰ卷 （选择题 共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中有且只有一个选项是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）

函数
的定义域为A．
B．
C．
D．

若复数
满足
（
为虚数单位），则
的虚部为A．
B．
C．
D．

如图是某篮球联赛中，甲、乙两名运动员12个场次得分的茎叶图．设甲、乙两人得分的平均数分别为
,
，中位数分别为
,
，则A．
B．
C．
D．

已知直线
为双曲线
（
）的一条渐近线，则双曲线
的离心率为A．
B．
C．2 D．

执行如图所示的程序框图，输出的有序实数对为A．
B．
C．
D．

已知直线
与平面
平行，则下列结论错误的是A．直线
与平面
没有公共点B．存在经过直线
的平面与平面
平行C．直线
与平面
内的任意一条直线平行D．直线
上所有的点到平面
的距离都相等

已知偶函数
满足：当
时，
恒成立．设
,
,
，则
的大小关系为A．
B．
C．
D．

设变量
满足约束条件
则
的取值范围为A．
B．
C．
D．

某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积为A．17 B．22C．
D．

函数
的零点个数为A．0 B．1 C．2 D．3

在
中，点
为
的重心．已知
，且向量
与
的夹角为
，则
的最小值是A．
B．6 C．9 D．24

已知函数
，有下列三个结论：①存在常数
，对任意的实数
，恒有
成立； ②对任意给定的正数
，都存在实数
，使得
；③直线
与函数
的图象相切，且切点有无数多个．则所有正确结论的序号是A．① B．② C．③ D．②③

第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在答题卡的相应位置上．）

已知集合
，则集合
等于　★★★　．

已知函数
．若在区间
上随机取一个数
，则使得不等式
成立的概率为　★★★　．

的内角
所对的边分别是
．若
，则
的值为　★★★　．

在各项均为正整数的单调递增数列
中，
，
，且

，则
的值为　★★★　．

三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程.)

（本小题满分12分）已知函数
的图象与直线
的相邻两个交点之间的

距离为
．（Ⅰ）求函数
的单调递增区间；（Ⅱ）若
，求
的值．

（本小题满分12分）调查表明，中年人的成就感与收入、学历、职业的满意度的指标有极强的相关性．现

将这三项的满意度指标分别记为
，并对它们进行量化：0表示不满意，1表示基本满意，2表示满意，再用综合指标
的值评定中年人的成就感等级：若
，则成就感为一级；若
，则成就感为二级；若
，则成就感为三级．为了了解目前某群体中年人的成就感情况，研究人员随机采访了该群体的10名中年人，得到如下结果：

人员编号



























人员编号



























（Ⅰ）若该群体有200人，试估计该群体中成就感等级为三级的人数是多少？

（Ⅱ）从成就感等级为一级的被采访者中随机抽取两人，这两人的综合指标
均为4的概率是多少？

（本小题满分12分）如图，在长方体
中，
，
为

线段
上一点．（Ⅰ）求证：
；（Ⅱ）当
为线段
的中点时，求三棱锥
的高．

（本小题满分12分）小辉是一位收藏爱好者，在第1年初购买了价值为20万元的收藏品M，由于受到收

藏品市场行情的影响，第2年、第3年的每年初M的价值为上年初的
；从第4年开始，每年初M的价值比上年初增加4万元. （Ⅰ）求第几年初开始M的价值超过原购买的价值； （Ⅱ）记
（
）表示收藏品M前
年的价值的平均值，求
的最小值．

（本小题满分12分）已知函数
,
,
为自然对数的底数．（Ⅰ）若
是
的极值点，求
的值； （Ⅱ）证明：当
时，
．

（本小题满分14分）如图，已知椭圆
（
）的离心率
．点
分别为椭圆
的

左焦点和右顶点，且
．（Ⅰ）求椭圆
的方程；（Ⅱ）过点
作一条直线
交椭圆
于
两点，点
关于

轴的对称点为
．若
，求证：
．

2015年福州市高中毕业班质量检测

文科数学能力测试参考答案及评分细则

一、选择题：本题共有12个小题，每小题5分，满分60分．

1．A 2．A 3．C 4．D 5．D 6．C

7．C 8．B 9．D 10．B 11．B 12．D

二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分．

13．
14．
15．2 16．55

三、解答题：本大题共6小题，共74分．

17． 本小题主要考查三角函数的图象与性质（对称性、周期性、单调性）、二倍角的余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．满分12分．

【解析】（Ⅰ）因为
，

所以
． 2分

所以
．

因为函数
与直线
的相邻两个交点之间距离为
，

所以
， 3分

所以
，解得
4分

所以
．

令
， 5分

解得
． 6分

所以函数
的单调递增区间是
． 7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，因为
，

所以
． 8分

所以
10分

11分

． 12分

18．本小题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想．满分12分．

【解析】（Ⅰ）计算10名被采访者的综合指标，可得下表：

人员编号























综合指标

4

4

6

2

4

5

3

5

1

3



 1分

由上表可知：成就感为三级（即
）的只有
一位，其频率为
． 3分

用样本的频率估计总体的频率，可估计该群体中成就感等级为三级的人数有
．

5分

（Ⅱ）设事件
为 “从成就感等级是一级的被采访者中随机抽取两人，他们的综合指标
均为4”．由（Ⅰ）可知成就感是一级的（
）有：
，共6位，从中随机抽取两人，所有可能的结果为：

，共15种． 9分

其中综合指标
有：
，共3名，事件
发生的所有可能结果为：

，共3种， 10分

所以

． 12分

19．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，以及几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．满分12分．

证明：（Ⅰ）连结
．

因为
是长方体，且
，

所以四边形
是正方形， 1分

所以
． 2分

因为在长方体
中，

平面
，
平面
，

所以
． 4分

因为
平面
，
平面
，

且
，

所以
平面
． 5分

因为
平面
，

所以
6分

（Ⅱ）点
到平面
的距离
，

的面积
， 7分

所以
． 8分

在Rt△
中，
,所以
， 9分

同理
.又
，所以
的面积
． 10分

设三棱锥
的高为
，则

因为
，所以
， 11分

所以