2015年福州市高中毕业班质量检测

理科数学能力测试

（完卷时间：120分钟；满分：150分）

注意事项：

1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；

2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．

参考公式：

1．样本数据
的标准差

，

其中
为样本平均数；

2．球的表面积、体积公式：

,
，

其中
为球的半径．



第Ⅰ卷 （选择题 共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个选项中有

且只有一个选项是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）

已知全集
，集合
，
，则
等于A．
B．
C．
D．

在平面直角坐标系
中，已知角
的顶点与点
重合，始边与
轴的非负半轴重合，终边上一点
的坐标为
，则
的值是A．
B．0 C．
D．1

在等差数列
中，若
，
，则
的值是A．
B．
C．
D．

若
，则
的大小关系为A．
B．
C．
D．

执行如图所示的程序框图，输出
的值为A．
B．1 C．
D．

在棱长为3的正方体内任取一点
，则点
到该正方体的六个面的距离的最小值不大于1的概率为A．
B．
C．
D．

“直线
垂直于平面
”的一个必要不充分条件是A．直线
与平面
内的任意一条直线垂直 B．过直线
的任意一个平面与平面
垂直C．存在平行于直线
的直线与平面
垂直 D．经过直线
的某一个平面与平面
垂直

已知
是边长为1的正三角形，动点
在平面
内．若
，
，则
的取值范围为A．
B．
C．
D．

若函数
满足：
，都有
成立，则称
．对于函数
,
有A．
且
B．
且
C．
且
D．
且

某医务人员说：“包括我在内，我们社区诊所医生和护士共有16名．无论是否把我算在内，下面说法都是对的．在这些医务人员中：护士多于医生；女医生多于女护士；女护士多于男护士；至少有一名男医生．”请你推断说话的人的性别与职业是A．男医生 B．男护士 C．女医生 D．女护士

第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置上．）

已知
，
为虚数单位，若
，则
　★★★ ．

展开式的常数项为
，则正数
★★★ ．

已知抛物线
的焦点为
，
是
的准线上一点，
是直线
与
的一个交点．若
，则直线
的方程为　★★★　．

已知一组正数
的方差
，则数据
的平均数为　★★★　．

已知函数
，有下列四个结论：① 函数
的图象关于
轴对称；② 存在常数
，对任意的实数
，恒有
成立；③ 对于任意给定的正数
，都存在实数
，使得
；④ 函数
的图象上至少存在三个点，使得该函数在这些点处的切线重合．其中正确结论的序号是 ★★★ (请把所有正确结论的序号都填上)．

三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

（本小题满分13分）已知函数
的图象与直线
的相邻两个交点之间的

距离为
．（Ⅰ）求函数
的单调递增区间；（Ⅱ）设
的内角
所对的边分别是
．若

，求角

的大小．

（本小题满分13分）调查表明，中年人的成就感与收入、学历、职业的满意度的指标有极强的相关性．现

将这三项的满意度指标分别记为
，并对它们进行量化：0表示不满意，1表示基本满意，2表示满意，再用综合指标
的值评定中年人的成就感等级：若
，则成就感为一级；若
，则成就感为二级；若
，则成就感为三级．为了了解目前某群体中年人的成就感情况，研究人员随机采访了该群体的10名中年人，得到如下结果：

人员编号



























人员编号



























（Ⅰ）在这10名被采访者中任取两人，求这两人的职业满意度指标
相同的概率；

（Ⅱ）从成就感等级是一级的被采访者中任取一人，其综合指标为
，从成就感等

级不是一级的被采访者中任取一人，其综合指标为
，记随机变量
，求
的分布列及其数学期望．

（本小题满分13分）已知一个空间几何体的直观图和三视图（尺寸如图所示）．

（Ⅰ）设点
为棱
中点，求证：
平面
；

（Ⅱ）线段
上是否存在一点
，使得直线
与平面
所成角的正弦值等于

？若存在，试确定点
的位置；若不存在，请说明理由．

（本小题满分13分）如图，已知椭圆
（
）的离心率
．点
分别为椭圆
的

左焦点和右顶点，且
．（Ⅰ）求椭圆
的方程；（Ⅱ）过点
作一条直线
交椭圆
于
两点，点
关

于
轴的对称点为
．若
，求证：
．

（本小题满分14分）已知函数
，
，
为自然对数的底数．（Ⅰ）当
时，求函数
在点
处的切线方程；（Ⅱ）设
，比较
与
的

大小，并加以证明．

本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．若多做，则按所做的前两题计分．

（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换

已知矩阵
的逆矩阵
．

（Ⅰ）求矩阵
；

（Ⅱ）求曲线
在矩阵
所对应的线性变换作用下所得的曲线方程．

（2）（本小题满分7分）选修4－4：坐标系与参数方程

已知曲线
的参数方程为
（
为参数）．在平面直角坐标系中，以坐

标原点为极点，
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
．

（Ⅰ）把
的参数方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）求
与
交点的极坐标（
）．

（3）（本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲

已知定义在
上的函数
的最小值为
．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求不等式
的解集．

2015年福州市高中毕业班质量检测

理科数学能力测试参考答案及评分细则

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）

1． A 2． B 3． B 4． C 5． C 6．D 7．D 8． A 9． C 10． B

第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）

11．
12．
　 13．
或
14．
　 15．①③④

三、解答题（本大题共6小题，共80分．)

16．本小题主要考查三角函数的图象与性质（对称性、周期性、单调性）、两角差的正弦公式、利用正弦定理解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．满分13分．

解：(Ⅰ)因为
，

所以
． 1分

所以函数
的最大值为2． 2分

因为函数
的图象与直线
的相邻两个交点之间的距离为
，

所以
， 3分

所以
，解得
4分

所以

令
， 5分

解得
．

所以函数
的单调递增区间是
． 6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，

在
中，因为

所以
7分

所以

因为
，所以
． 9分

因为
，根据据正弦定理，有
， 10分

所以
，所以
， 11分

因为
，所以
，所以
， 12分

所以
． 13分

17．本小题主要考查离散型随机变量的概率、分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、抽象概括能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分13分．

解：（Ⅰ）设事件
为“从10名被采访者中随机抽取两人，他们的职业满意度指标相同”．

职业满意度指标为0的有：
；

职业满意度指标为1的有：
,
,
,
,
；

职业满意度指标为2的有：
,
,
,
．

从10名被采访者中随机抽取两人的所有可能结果数为
， 1分

， 2分

职业满意度指标相同的所有可能结果数为
3分

， 4分

所以他们的职业满意度指标相同的概率
．