2015年莆田市高中毕业班教学质量检查试卷

数学（理科）

本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，满分150分．考试时间120分钟．

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．

3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用O．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．

4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

参考公式：

样本数据x1，x2， …，xn的标准差 锥体体积公式

s=
　　　V=
Sh

其中
为样本平均数 其中S为底面面积，h为高

柱体体积公式 球的表面积、体积公式

V=Sh
，

其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填涂在答题卡相应位置．

1．下列函数中，为奇函数的是（ ）

A．y=x+1 B．y=x2 C．y=2x D．y=x|x|

2．已知
，复数
（i为虚数单位）在复平面内对应的点为M，则“
”是“点M在第四象限”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．若a＞0，b＞0，a+b=1，则
的最小值是( )

A．2 B．3 C．4 D．5

4．函数
图象的一条对称轴方程为（ ）

A．x＝－ B．
C．x＝ D．x＝

5．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则其侧视图的面积是（ ）

A．
B．
C．1 D．

6．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的
的值等于126，则判断框中的①可以是（　　）

A．i>4？ B．i>5？ C．i>6？ D．i>7？

7．若直线y=kx－k交抛物线
于A，B两点，且线段AB中点到
轴的距离为3，则
=（ ）

A．12 B．10 C．8 D．6

8．学校将5个参加知识竞赛的名额全部分配给高一年段的4个班级，其中甲班级至少分配2个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，则不同的分配方案共有（ ）

A．20种 B．24种 C．26种 D．30种

9．常用以下方法求函数
的导数：先两边同取以e为底的对数（e≈2．71828…，为自然对数的底数）得
，再两边同时求导，得
，即
．运用此方法可以求函数
(x>0)的导函数．据此可以判断下列各函数值中最小的是 ( )

A．
B．
C．
D．

10．如图，
所在平面上的点
均满足
与
的面积比为3；1，
（其中，
是首项为1的正项数列），则
等于（ ）

A．65 B．63 C．33 D．31

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填写在答题卡的相应位置．

11．集合
，
，则
________．

12．某工厂的某种型号的机器的使用年限
和所支出的维修费用
(万元)的统计资料如下表：

6

8

10

12





2

3

5

6





根据上表数据可得y与x之间的线性回归方程
，据此模型估计，该机器使用年限为14年时的维修费用约为 万元．

13．向区域
内随机投点，则该点与坐标原点连线的斜率大于1的概率为 ．

14．已知圆
和双曲线
．若对双曲线
上任意一点A（点A在圆
外），均存在与圆
外切且顶点都在双曲线
上的菱形ABCD，则
___________．

15．定义：
表示不超过
的最大整数．例如
，
．给出下列结论：

①函数
是奇函数；

②函数
是周期为
的周期函数；

③函数
不存在零点；

④函数
的值域是
．

其中正确的是_____________．（填上所有正确命题的编号）

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 把答案填在答题卡相应位置．

16．本小题满分13分

已知数列{an}的首项为1，前n项和Sn满足
．

（Ⅰ）求Sn与数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设
（n∈N*），求使不等式
成立的最小正整数n．

17．本小题满分13分

已知函数
经化简后利用“五点法”画其在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：

①













0

1

0

－1

0



（Ⅰ）请直接写出①处应填的值，并求函数f(x)在区间
上的值域；

（Ⅱ）
的内角
所对的边分别为
，已知

，
，求
的面积．

18．本小题满分13分

甲、乙两位选手为为备战我市即将举办的“推广妈祖文化·印象莆田”知识竞赛活动，进行针对性训练，近8次的训练成绩如下（单位：分）：

甲?83?81?93?79?78?84?88?94

乙?87?89?89?77?74?78?88?98

（I）依据上述数据，从平均水平和发挥的稳定程度考虑，你认为应派哪位选手参加？并说明理由；

（II）本次竞赛设置A、B两问题，规定：问题A的得分不低于80分时答题成功，否则答题失败，答题成功可获得价值100元的奖品，问题B的得分不低于90分时答题成功，否则答题失败，答题成功可获得价值300元的奖品．答题顺序可自由选择，但答题失败则终止答题．选手答题问题A，B成功与否互不影响，且以训练成绩作为样本，将样本频率视为概率，请问在（I）中被选中的选手应选择何种答题顺序，使获得的奖品价值更高？并说明理由．

19．本小题满分13分

如图，边长为2的正方形ABCD绕AB边所在直线旋转一定的角度（小于
）到ABEF的位置．

(Ⅰ)求证:CE//平面ADF；

(Ⅱ)若K为线段BE上异于B,E的点，CE=
．设直线AK与平面BDF所成角为
,当
时,求BK的取值范围．

20．本小题满分13分

如图，椭圆C：
的离心率e =
，且椭圆C的首项为的短轴长为2．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设P，M，N椭圆C上的三个动点．

（i）若直线MN过点D（0，
），且P点是椭圆C的上顶点，求△PMN面积的最大值；

（ii）试探究：是否存在△PMN是以O为中心的等边三角形，若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由．

21．本小题满分14分

已知函数f(x)=lnx+
ax2+b（a，b∈R）．

（Ⅰ）若曲线y=f(x)在x=1处的切线为y=－1，求函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）求证：对任意给定的正数m，总存在实数a，使函数f(x)在区间(m，+∞)上不单调；

（Ⅲ）若点A（x1，y1），B（x2，y2）（x2>x1>0）是曲线f(x)上的两点，试探究：当a<0时，是否存在实数x0∈（x1，x2），使直线AB的斜率等于
？若存在，给予证明；若不存在，说明理由．

2015年莆田市高中毕业班教学质量检查试卷

理科数学试题参考解答及评分标准

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．D?2．A?3．B?4．A?5．B?6．C?7．C?8．A?9．B?10．D

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）

11．
?12．7.5?13．
?14．
?15．②③④

三、解答题（本大题共6小题，共80分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．本小题主要考查数列、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分13分．

解：（Ⅰ）因为
，

所以
是首项为1，公差为1的等差数列，………1分

则
=1+(n－1)1=n，……………2分

从而Sn=n2．…………………3分

当n=1时，a1=S1=1，

当n>1时，an=Sn－Sn－1=n2－(n－1)2 =2n－1．

因为
也符合上式，

所以an=2n－1．…………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，……………8分

所以

，……………10分

由
，解得n>12．………………12分

所以使不等式成立的最小正整数为13．……………13分

17．本小题主要考查三角函数的图象与性质、两角和与差的三角函数、解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分13分．

解：（Ⅰ）①处应填入
．………1 分

………3分

．………4分

因为T=
，所以
，
，即
．………5分

因为
，所以
，所以
，

从而得到
的值域为
．………7 分

（Ⅱ）因为
，又
所以
，

得
，
．………9分

由余弦定理得


，

即
，所以
．………11分

所以
的面积
． ………13 分

18．本小题主要考查平均数、方差、古典概型、相互独立事件的概率、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想、分类与整合思想．满分13分．

解：（I）记甲、乙两位选手近8次的训练的平均成绩分别为
、
，方差分别为
、
．

，

．……………… 2分

，

． ………………4分

因为
，
，所以甲、乙两位选手的平均水平相当，但甲的发挥更稳定，故应派甲参加．

………………5分

（II）记事件C表示为“甲回答问题A成功”，事件D表示为“甲回答问题B成功”，则P(C)=
, P(D)=
,且事件C与事件D相互独立． ………………6分

记甲按AB顺序获得奖品价值为
，则
的可能取值为0,100,400．

P(
=0)=P(
)=
,P(
=100)=P(
)=
,P(
=400)=P(
)=
．

即
的分布列为：

0

100

400



P









所以甲按AB顺序获得奖品价值的数学期望
．………………9分

记甲按BA顺序获得奖品价值为
，则
的可能取值为0,300,400．

P(
=0)=P(
)=
,P(
=300)=P(
)=
,P(
=400)=P(
)=
，

即
的分布列为：

0

300

400



P









所以甲按BA顺序获得奖品价值的数学期望
．………………12分

因为

，所以甲应选择AB的答题顺序，获得的奖品价值更高．………………13分

19．本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．满分13分．

(Ⅰ)证明：正方形ABCD中，CD
BA，正方形ABEF中，EF
BA．…………2分

EF
CD，
四边形EFDC为平行四边形，
CE//DF．…………3分

又DF
平面ADF，CE
平面ADF，
CE//平面ADF． …………5分

(Ⅱ)解：
BE=BC=2，CE=
，