2015届高三年级第二学期期初开学联考

数 学 试 卷 (文史类)

考试说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．

(1)答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；

(2)选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；

(3)请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；

(4)保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1．若集合
，
，则
等于( )

(A)
(B)
(C)
(D)

2．己知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正

视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中

标出的尺寸，可得这个几

何体的体积是( )

(A)
(B)
(C)
(D)

3．在
中，角A，B，C对应边分别是a，b，c，

，
，
，则

等于( )

(A)
(B)
(C)
(D)

4．若关于
的方程
在区间(0，1)上有解，则实数m的取值范围是( )

(A)
(B)
(C)
(D)

5．
是虚数单位，复数
，则
（ ）

（A）
（B） 2 （ C）
（D） 1

6．过点(-1,0)作抛物线
的切线，则其中一条切线方程为( )

(A)
(B)
(C)
(D)

7．扇形周长为10，则扇形面积的最大值是( )

(A)
(B)
(C)
(D)

8． 已知
是等差数列，
，则过点
的直线斜率是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

9．下列关于函数
的命题正确的是（ ）

(A) 函数
在区间
上单调递增

(B) 函数
的对称轴方程是
（
）

(C) 函数
的对称中心是（
）（
）

(D) 函数
以由函数
向右平移
个单位得到

10．下表是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：

月份

1

2

3

4



用水量

4.5

4

3

2.5



由散点图可知，用水量
与月份
之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是

，则
等于( )

(A)5.1 (B)5.2 (C)5.25 (D)5.4

11．己知点P在直线
上，点Q在直线
上，
中点
且
，则
的范围是( )

(A)
(B)

(C)
(D)

12． 已知双曲线
的左、右焦点分别为
.P为双曲线右支

上任意一点，
的最小值为8
，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

本试卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在机读卡上相应的位置．

13．椭圆
（
）的离心率
，右焦点
，方程
的两个根分别为
，
，则点
与圆
的位置关系是

14．.执行如图所示的程序框图，其输出结果是 　　　

15．从1,2，3,4,5中不放回依次取两个数。已知第一次取出的是奇数，

则“第二次取到的也是奇数”的概率为

16．设a，b，c是三条不同直线，
，
，
是三个不同平面，给出下

列命题：

①若
，
，则
；

②若a，b异面，
，
，
，
，则
；

③若
，
，
，且
，则
；

④若a，b为异面直线，
，
，
，
，则
．

其中正确的命题是

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明

过程或演算步骤．

17．(本小题满分12分)

如图，在
中，
，
，

(1)求
；

(2)记BC的中点为D，求中线AD的长．

18．(本小题满分12分)

某幼儿园为训练孩子数字运算能力，在一个盒子里装有标号为1,2,3,的卡片各2张，让孩子从盒子里任取2张卡片，按卡片上最大数字的10倍计分，每张卡片被取出的可能性相同。

(I)求取出的2张卡片上的数字互不相同的概率；

(II)若孩子取出的卡片的计分不小于20分就得到奖励，求孩子得到奖励的概率.

19．(本小题满分12分)

己知三棱柱
，
在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，
，
，又知

(1)求证：
平面
；

(2)求点C到平面
的距离；

20．(本小题满分12分)

椭圆
轴的正半轴分别交于A，B两点，原点O到直线AB的距离为
，该椭圆的离心率为

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）是否存在过点
的直线
与椭圆交于M，N两个不同点，且对
外任意一点Q，有

成立？若存在，求出
的方程；若不存在， 说明理由。

21．(本小题满分12分)

设函数

.

（1）求函数
的最小值；

（2）设

，讨论函数
的单调性；

22，23，24为选修题目，三题选择一个作答，如果三题都答，则按第一题评分。

22．(本小题满分10分)

选修4—1：几何证明选讲

如图，
是⊙
的直径，弦CA、BD的延长线相交

于点E，EF垂直BA的延长线于点F．

求证：(1)
；

(2)
．

23．(本小题满分10分)

选修4—4：坐标系与参数方程

已知直线
的参数方程为
（
为参数），曲线C的极坐标方程是
，以极点为原点，极轴为
轴正方向建立直角坐标系，点
，直线
与曲线C交于A、B两点．

(1)写出直线
的极坐标方程与曲线C的普通方程；

(2) 线段MA，MB长度分别记为|MA|，|MB|，求
的值．

24．(本小题满分10分)

选修4—5：不等式选讲

设函数

(1)求不等式
的解集；

(2)若不等式
（
，
，
）恒成立，求实数
的范围．

高三数学（文史类）参考答案

1-12BCAADD BCBCCAD 13、点在圆内 14、
15、
16、②③④

17．解：（1）由
，C是三解形内角，得
……2分

……2分

……2分

（2）在
中，由正弦定理
……2分

，又在
中，
， ……2分

由余弦定理得，

……2分

18． 解：（Ⅰ）设这六张卡片分别为A1、B1、A2、B2、A3、B3，孩子从盒子里任取2张卡片的全部基本事件为A1B1、A1A2、A1B2、A1A3、A1B3、B1A2、B1B2、B1A3、B1B3、A2B2、A2A3、A2B3、B2A3、B2B3、A3B3共15个，取出的2张卡片上的数字相同的基本事件为A1B1，A2B2，A3B3共有3个， ,…………………（3分）

所以取出的2张卡片上的数字相同的概率为
，因此取出的2张卡片上的数字互不相同的概率为
,…………………（6分）

（Ⅱ）若孩子取出的卡片的计分不小于20分，卡片上最大数字为2或3，

卡片上最大数字为1的基本事件为A1B1就一个，

所以孩子不能得到奖励的概率为
，因此孩子得到奖励的概率为
,……（12分）

19．解（1）
得
，因为
底
，所以
， ……2分

，所以
面
，所以
……3分

因为
，
，所以
底
……1分

（2）（解法一）由（1）得
，所以
是菱形，……2分

所以
，
，……2分

由
，得
……2分

（解法二）作
于点
，连
作
，因为
平面
，所以
，
，
，所以
平面
， ……2分

又
面
，所以
，
，所以
平面
，……2分

中，
，

因为
是
中点，所以
到面
距离
……2分

20．（1）由题得，直线AB的方程为
…………………1分

由
及
，得
…………………3分

所以椭圆的方程为
…………………4分

（2）
①…………………6分

当直线
的斜率不存在时，
，易知符合条件，此时直线方程为
…8分

当直线
的斜率存在时，设直线
的方程为
，代入
得

由
，解得

设
，

则
②

③…………………10分

由①得
④

由②③④消去
，得

，即
，矛盾，

综上，存在符合条件的直线
…………………12分

21.（1）解：f'（x）=lnx+1（x＞0），令f'（x）=0，得
．

∵当
时，f'（x）＜0；当
时，

f'（x）＞0，

∴当
时，
．----------------- 5分

（2）F（x）=ax2+lnx+1（x＞0），
．

①当a≥0时，恒有F'（x）＞0，F（x）在（0，+∞）上是增函数；

②当a＜0时，

令F'（x）＞0，得2ax2+1＞0，解得
；

令F'（x）＜0，得2ax2+1＜0，解得
．

综上，当a≥0时，F（x）在（0，+∞）上是增函数；

当a＜0时，F（x）在
上单调递增，在
上单调递减．------------------------------------7分

22．证明：

(1)连结
,因为
为圆的直径，所以
， ……1分

又
，
, ……1分

则
四点共圆 ……2分

∴
……1分

(2)由(1)知，
, ……1分

又
∽
∴
, 即
……2分

∴
……2分

23.解（1）直线
的极坐标方程
， ……3分

曲线
普通方程
……2分

（2）将
代入
得
，……3分

……2分

24．解：(1)
，……3分 所以解集
……2分

(2) 由
，……2分

得
，由
，得
，……1分

解得
或
……2分

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