2015届高三年级第二学期期初开学联考

数 学 试 卷 (理工类)

考试说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．

(1)答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；

(2)选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；

(3)请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；

(4)保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．

第Ⅰ卷(选择题)

一、选择题（每小题5分，共60分）

1. 设
，
，则
=（ ）

A.
B.
C.
D.

2．直线
和直线
平行，则
（ ）

A．
B．
C．7或1 D．

3.数列{
}定义如下：
=1，当
时，
，若
，则
的值等于( )

A. 7 B. 8 C. 9 D. 10

4． 某几何体的三视图如图所示，其中三角形的三边长与圆的直径均为2，则该几何体的体积为（ ）

A．
B．

C．
D．

5.圆心在曲线
上，且与直线
相切的面积最小的圆的方程为（ ）

A.
B.

C.
D.

6.在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于(　　 )

A. B. C. D.

7.已知实数
满足
，则
的最小值是（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 设函数
，若互不相等的实数
满足

，则
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

9.已知椭圆
，以O为圆心，短半轴长为半径作圆O，过椭圆的长轴的一端点P作圆O的两条切线，切点为A、B，若四边形PAOB为正方形，则椭圆的离心率为(　　)

A. B. C. D.

10．已知函数
的图象向右平移
个单位后关于
对称，当
时，
＜0恒成立，设
，
，
，则
的大小关系为（ ）

A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．b＞a＞c

11.已知

为
的导函数，则
的图像是（　　　）

12.已知
符号
表示不超过
的最大整数，若函数
有且仅有3个零点，则
的取值范围是（ 　　 ）

A．
　　　　B．
C．
D．

二、填空题（每小题5分，共20分）

13. 已知
为虚数单位，若
(
R),则
.

14. 已知公比为
的等比数列
的前
项和
满足
，则公比
的值为 .

15.设
是椭圆
的左焦点，O为坐标原点，点P在椭圆上，则
的最大值为 .

16.已知正三棱锥
ABC,点P,A,B,C都在半径为
的球面上,若PA,PB,PC两两互相垂直,则球心到截面ABC的距离为____________.

三、解答题

17. （本小题满分10分）正项数列
满足：
.

（1）求数列
的通项公式
；

（2）令
，求数列
的前
项和
.

18. （本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系
中，点A(0,3),直线
：
，设圆
的半径为1，圆心在
上.

(1)若圆心
也在直线
上,过点A作圆
的切线,求切线的方程；

(2)若圆
上存在点
,使
,求圆心
的横坐标
的取值范围.

19. （本小题满分12分）设函数
,

的图象关于直线
对称，其中
为常数，且
．

(1)求函数
的最小正周期；

(2)若
的图象经过点
，求函数
在
上的值域．

20. （本小题满分12分）在几何体ABCDE中，AB=AD=BC=CD=2,
,且
平面
,平面
平面
.

（1）当
平面
时，求
的长；

(2) 当
时，求二面角
的大小.

21. （本小题满分12分）已知圆
，若椭圆

的右顶点为圆
的圆心，离心率为
.

（1）求椭圆
的方程；

（2）若存在直线
，使得直线
与椭圆
分别交于
两点，与圆
分别交于
两点，点
在线段
上，且
，求圆
的半径
的取值范围.

22．（本小题满分12分）已知函数
.

（1）若函数满足
,且在定义域内
恒成立，求实数b的取值范围；

（2）若函数
在定义域上是单调函数，求实数
的取值范围；

（3）当
时，试比较
与
的大小.

高三数学答案（理科）

一、选择题

BBCAA BADBD AC

二、填空题

13. 3； 14.2； 15.
16.

三、解答题

17.解：（1）由已知可得：

（2）

所以

18.解：联立
和
可得圆心
（3，2），又因为半径为1，

所以圆
的方程为

设过点A的切线方程为：

圆心到直线的距离为

所以
或

所求切线方程为
和
。

（2）设点

因为

所以

又因为点
在圆
上，

所以圆
与圆
相交，

设点

两圆圆心距满足：
， 所以
.

19.解：(1)因为f(x)＝sin 2ωx－cos 2ωx＋2sin ωx·cos ωx＋λ＝－cos 2ωx＋sin 2ωx＋λ＝2sin (2ωx－)＋λ，

由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，可得

sin (2ωπ－)＝±1，

所以2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，即ω＝＋(k∈Z)．

又ω∈(，1)，k∈Z，所以k＝1，故ω＝.

所以f(x)的最小正周期是.

(2)由y＝f(x)的图象过点(，0)，得f()＝0，

即λ＝－2sin (×－)＝－2sin ＝－，

即λ＝－.

故f(x)＝2sin (x－)－，

函数f(x)的值域为[－1－，2－]．

20.解：（1）设
，如图，建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),E(0,0,a),

取BD的中点T，连接CT,AT,则CT
BD.

又
平面BCD
平面ABD,

所以CT
平面BCD,

所以CT//AE.

AB=AD=BC=CD=2,
,

所以CD
CB,
,

C(1,1,
),

设平面CDE的法向量为
,

则有
,

.

AB//平面CDE,

即AE的长为
.

(2)连接AC,当
时,由(1)可知平面CDE的一个法向量
，

又BD
AT,BD
AE,
BD
平面ACE,

平面ACE的一个法向量

二面角
的大小为
.

21.解：（1）设椭圆的焦距为2c,因为

所以椭圆的方程为
。

（2）设
，

联立方程得

所以

则

又点
到直线
的距离
， 则

显然，若点
也在线段
上，则由对称性可知，直线
就是y轴,与已知矛盾，所以要使
,只要
，所以

当
时，
.

当
时，
3，

又显然
，所以
。

综上，圆
的半径
的取值范围是
。

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