上海市十三校2015届高三第二次（3月）联考

数学文试题

一、填空题（本大题满分56 分）本大题共有14 题，每个空格填对4 分，否则一律得零分.

1、幂函数
在区间
上是减函数，则m= __________.

2、函数1
的定义域为__________.

3、在△ABC中，BC = 8、 AC =5，且三角形面积S =12，则cos 2C = __________.

4、设i为虚数单位，若关于x的方程
有一实根为n，则m =_______.

5、若椭圆的方程为
且此椭圆的焦距为4，则实数a = __________.

6、若一个圆锥的侧面展开如圆心角为1200、半径为3 的扇形，则这个圆锥的表面积是__________.

7、若关于x的方程
上有解，则实数a的取值范围为__________.

8、《孙子算经》卷下第二十六题：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？___________.（只需写出一个答案即可）

9、若

，则目标函数
取最大值时点的坐标为＿＿＿＿

10、设口袋中有黑球、白球共7 个，从中任取2个球，已知取到至少1个白球的概率为
，则口袋中白球的个数为__________.

11、如右图所示，一个确定的凸五边形 ABCDE ，令

，

则x 、y 、z 的大小顺序为__________.

12、设函数 f ( x)的定义域为D，
，它的对应法则为 f : x→sin x，现已

知 f ( x)的值域为
，则这样的函数共有__________个.

13、若多项式

则
＝＿＿＿＿＿

14、在平面直角坐标系中有两点
，以原点为圆心，r > 0为半径作一个圆，与射线

交于点M ，与x轴正半轴交于
，则当r变化时， |AM |+| BN |的最小值为__________.

二、选择题（本大题满分20 分）本大题共有4 题，每题有且仅有一个正确答案，选对得5 分，否则一律得零分.

15、若非空集合 A中的元素具有命题
的性质，集合B中的元素具有命题
的性质，若 A
B，则命题
是命题
的__________条件.

A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要 D. 既非充分又非必要

16、用反证法证明命题：“已知a、b
，如果ab可被 5 整除，那么a、b 中至少有一个能被 5 整除”时，假设的内容应为__________.

A. a 、b 都能被5 整除 　　B. a 、b 都不能被5 整除

C. a 、b 不都能被5 整除 　D. a 不能被5 整除

17、实数x、 y 满足
＝1，则x - y的最大值为__________.

　A、4　　　B、2
　　　C、2　　　D、

18、直线m ⊥平面
，垂足是O ，正四面体ABCD 的棱长为4，点C 在平面
上运动，点B 在直线m 上运动，则点
O 到直线AD 的距离的取值范围是__________.

三、解答题（本大题满分74 分）本大题共5 题，解答下列各题须写出必要的步骤.

19、（本题满分12 分） 本题共有2 个小题，第1 小题满分6 分，第2 小题满分6 分.

已知正四棱柱
，底面边长为
，点P、Q、R分别在棱
上，Q 是BB1 中点，且PQ / /AB ，

（1）求证：
平面PQR；

（2）若
，求四面体C1PQR 的体积.

20、（本题满分14 分） 本题共有2 个小题，第1 小题满分6 分，第2 小题满分8 分.

已知数列
满足
，设数列
的前n 项和是
.

（1）比较
的大小；

（2）若数列
的前n项和
，数列
，求d 的取值范围使得
是递增数列.

21、（本题满分14 分） 本题共有3 个小题，第1 小题满分5 分，第2 小题满分6 分，第3 小题满分3 分.

某种波的传播是由曲线
来实现的，我们把函数解析式
称为“波”，把振幅都是A 的波称为“ A 类波”，把两个解析式相加称为波的叠加.

（1）已知“1 类波”中的两个波
叠加后仍是“1类波”，求
的值；

（2）在“ A 类波“中有一个是
，从 A类波中再找出两个不同的波（每两个波的初相
都不同）使得这三个不同的波叠加之后是“平波”，即叠加后y＝0，并说明理由.

22、（本题满分16 分） 本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第2 小题满分6 分，第3 小题满分6 分.

设函数
.

（1）若a=0，当
时恒有
，求b 的取值范围；

（2）若
且b =－1，试在直角坐标平面内找出横坐标不同的两个点，使得函数
的图像永远不经过这两点；

（3）当
＝1时，函数
存在零点
，求
的取值范围。

23、（本题满分18 分） 本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第2 小题满分6 分，第3 小题满分8 分.

设有二元关系
，已知曲线

（1）若a =2时，正方形 ABCD的四个顶点均在曲线
上，求正方形 ABCD的面积；

（2）设曲线C与x轴的交点是M 、N ，抛物线E：
与 y 轴的交点是G ，直线MG与曲线E交于点P，直线NG 与曲线E交于Q，求证：直线PQ过定点（0，3）。

（3）设曲线C与x轴的交点是
，可知动点
在某确定的曲线
上运动，曲线
与上述曲线C在
时共有4个交点，其分别是：
，集合
的所

有非空子集设为
，将
中的所有元素相加（若
中只有一个元素，则和是其自身）得到255 个数
，求
的值。

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