雅安中学2015届高三3月月考

数学（理）试题

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷第2至4页。满分150分，考试时间120分钟。考试结束后，将答题卷和机读卡一并收回。

第Ⅰ卷（选择题　共50分）

选择题（每小题5分，共50分，把每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的选项选出来）

1.

A.
B.
C.
D.

2.已知

A.
B.
C.
D.

3.并排的5个房间，安排给5个工作人员临时休息，假设每个人可以进入任一房间，且进入每个房间是等可能的，问每个房间恰好进入一人的概率是_______

A.
B
C.
D.

4.已知

A.0 B.1 C.2 D.3

5.已知曲线
的焦点F，曲线上三点A,B,C满足
,则
。

A.2 B.4 C.6 D.8

6.若P为棱长为1的正四面体内的任一点，则它到这个正四面体各面的距离之和为______.

A.
B.
C.
D.

7.若等差数列
的前n项和为
，则

A.0 B.12 C.
D.

8.“函数
在区间（a,b）上有零点”是“
”的________条件

A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.非充分非必要

9.在同一直角坐标系下作
的图象，有下面四种判断：

①两支图象可能无公共点。

②若两支图象有公共点，则公共点一定在直线y=x上

③若两支图象有公共点，则公共点个数可能1个，不可能2个

④若两支图象有公共点，则公共点个数最多可能有3个。

以上这四种判断中，错误的判断共有______个

A.1 B.2 C.3 D.4

10..已知平面上的点
，则满足条件的点在平面上组成的图形的面积为_______

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题　共100分）

二．填空题（每小题5分，共25分）

11.平面内与两定点距离之比为定值
的点的轨迹是_________________.

12.如果直线AB与平面
相交于B，且与
内过点B的三条直线BC,BD,BE所成的角相同，则直线AB与CD所成的角=_________.

13.等差数列
，
的前n项和分别为
，则

14．有两个等差数列2，6，10,…,190及2,8,14,…,200,由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列,则这个新数列的各项之和为 .

15.命题1）若
是偶函数，其定义域是
，则
在区间
是减函数。

2）如果一个数列
的前n项和
则此数列是等比数列的充要条件是

3）曲线
过点（1,3）处的切线方程为：
。

4）已知集合
只有一个子集。则

以上四个命题中，正确命题的序号是__________

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16.（本小题12分）在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
,
,且
∥

①求角B的大小 ②若b=1，求△ABC面积的最大值。

17.（本小题12分）在正三棱柱
中，底面三角形ABC

的边长为
,侧棱的长为
，D为棱
的中点。

①求证：
∥平面

②求二面角
的大小

③求点
到平面
的距离。

18.（本小题12分）六名学生需依次进行身体体能和外语两个项目的训练及考核。每个项目只有一次补考机会，补考不合格者不能进入下一个项目的训练（即淘汰）,若每个学生身体体能考核合格的概率是
，外语考核合格的概率是
，假设每一次考试是否合格互不影响。

①求某个学生不被淘汰的概率。

②求6名学生至多有两名被淘汰的概率

③假设某学生不放弃每一次考核的机会，用
表示其参加补考的次数，求随机变量
的分布列和数学期望。

19（本小题12分）已知数列
是公差为1的等差数列，
是公比为2的等比数列，
分别是数列
和
前n项和，且

①分别求
，
的通项公式。

②若
，求n的范围

③令
，求数列
的前n项和
。

20.1）（本小题6分）在平面直角坐标系中，已知某点
，直线
.求证：点P到直线
的距离

2)（本小题7分）已知抛物线C:
的焦点为F，点P（2,0），O为坐标原点，过P的直线
与抛物线C相交于A,B两点，若向量
在向量
上的投影为n,且
，求直线
的方程。

21（本小题14分）

已知函数
，

①求函数
的单调区间。

②若函数
的图象在点（2，
）处的切线的倾斜角为
，对任意的
,函数
在区间
上总不是单调函数，求m取值范围

③求证：

雅安中学2014-2015学年下期高三3月试题

数 学 试 题（理科）参考答案

选择题：

CDABCDADBD

填空题：

11.圆 12.
13.
14.1472 15.①②

三．解答题

16.解：1）

∥
，

，

，
,
B=
。。。。。。。。。。5分

2）

，

，

，当且仅当
取等

17.向量解法

1）略 2）
3）

18.解：1）正面： ①两个项目都不补考能通过概率：

②两个项目中有一个项目要补考才能通过的概率：

③两个项目都要补考才能通过的概率：

反面（间接法）被淘汰的概率：

2）

3)

0

1

2



P











19.解：1）联立方程可得：
，

2）

，


，

，

3)错位相减：

20.1）见教材

2）法一：
时，与已知矛盾

设直线方程：

。代入抛物线方程可得：

，

，

法二：设直线l的倾斜角为

，设直线方程：

，

，

，

，

21.解：1）

，

当
时，

当
时，

当
时，

2）

，

令

又
，

，

，可证
，

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