广东省中山市2015届高三下学期第二次模拟考试

数学（理）试题

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．

1.设随机变量
服从正态分布
，若
，则
（ ）

A． 3 B．
C．5 D．

2．在△ABC中，已知b＝4 ，c＝2 ，∠A＝120°，则
（ ）A．2 ?? B．6?????? C．2 或6?? D．2

3．设a＞1＞b＞0，则下列不等式中正确的是

（A）(-a)7＜(-a)9 （B）b- 9＜b- 7

（C）
（D）

4. 设抛物线的顶点在原点,准线方程为
则抛物线的方程是( )

A.
B.
C.
D.

5．设
是两条不同的直线，
是两个不同的平面，则下列命题中正确的是

（A）若
且
，则

（B）若
且
，则

（C）若
且
，则

（D）若
且
，则

6．已知某锥体的三视图（单位：cm ）

如图所示，则该锥体的体积为

（A）2
（B）4

（C）6
（D）8

7．
的展开式的常数项是

（A）48 （B）﹣48 （C）112 （D）﹣112

8．袋子里有3颗白球，4颗黑球，5颗红球．由甲、乙、丙三人依次各抽取一个球，抽取后不放回．若每颗球被抽到的机会均等，则甲、乙、丙三人所得之球颜色互异的概率是

（A）
（B）
（C）
（D）
二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．

（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答．

9．已知复数z满足
= i（其中i是虚数单位），则
．

10．设
，其中实数
满足
且
，则
的取值范围是 ．

11．已知抛物线
上两点
的横坐标恰是方程
的两个实根，则直线
的方程是 ．

12．口袋中装有大小质地都相同、编号为1，2，3，4，5，6的球各一只．现从中一次性随机地取出两个球，设取出的两球中较小的编号为
，则随机变量
的数学期望是 ．

13．在△ABC中，∠C=90(，点M满足
，则sin∠BAM的最大值是 ．

（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题．

14．（坐标系与参数方程选做题）若直线的极坐标方程为
，曲线
：
上的点到直线的距离为
，则
的最大值为 .

15.(几何证明选讲选做题) 如图圆
的直径
,
是
的延长线上一点,过点
作圆
的切线,切点为
,连接
,若
,则
.

三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分13分) 在某校高三学生的数学校本课程选课过程中，规定每位同学只能选一个科目。已知某班第一小组与第二小组各有六位同学选择科目甲或科目乙，情况如下表：

科目甲

科目乙

总计



第一小组

1

5

6



第二小组

2

4

6[]



总计

3

9

12



现从第一小组、第二小组中各任选2人分析选课情况.

（1）求选出的4 人均选科目乙的概率；

（2）设
为选出的4个人中选科目甲的人数，求
的分布列和数学期望．

18．（本题满分14分）如图所示，
⊥平面
，

△
为等边三角形，
，
⊥
，

为
中点．

（I）证明：
∥平面
；

（II）若
与平面
所成角的正切值

为
，求二面角
-
-
的正切值．

19．（本小题满分14分）设等差数列
的前n项和为
，且
．

数列
的前n项和为
，且
，
．

（I）求数列
,
的通项公式；

（II）设
， 求数列
的前
项和
．

20．（本题满分14分）已知椭圆Γ：
的离心率为
，其右焦点
与椭圆Γ的左顶点的距离是3．两条直线
交于点
，其斜率
满足
．设
交椭圆Γ于A、C两点，
交椭圆Γ于B、D两点．

（I）求椭圆Γ的方程；

（II）写出线段
的长
关于
的函

数表达式，并求四边形
面积

的最大值．

21．（本小题满分14分）

设函数
.

（Ⅰ）若
，求函数
在[1，e]上的最小值；

（Ⅱ）若函数
在
上存在单调递增区间，试求实数
的取值范围；

16．（本题满分14分）

解：（Ⅰ）由
，得
， ……………………1分

又
，代入得
，

由
，得
， ……………………3分

，
………5分

得
，
……………………7分

（Ⅱ）
， ……………………9分

，
，则
……………………11分

……………………14分

17. （本小题满分12分）

解：（1）设“从第一小组选出的2人选科目乙”为事件
，

“从第二小组选出的2人选科目乙””为事件
.由于事 件
、
相互独立，

且
,
.………………………………4分

所以选出的4人均选科目乙的概率为

…………………………… 6分

（2）设
可能的取值为0,1,2,3.得

,
,
，

… 9分

的分布列为























∴
的数学期望
…………13分

（19）（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）由题意，
，得
． …………3分

，
，

，两式相减，得

数列
为等比数列，
． …………7分

（Ⅱ）
．

当
为偶数时，

=
． ……………10分

当
为奇数时，

（法一）
为偶数，

……………13分

（法二）

． ……………13分

……………14分

18．（本题满分15分）

解：（Ⅰ）证明：因为M为等边△ABC的AC边的中点，所以BM⊥AC．

依题意CD⊥AC，且A、B、C、D四点共面，所以BM∥CD． …………3分

又因为BM(平面PCD，CD(平面PCD，所以BM∥平面PCD． …………5分

（Ⅱ）因为CD⊥AC，CD⊥PA，

所以CD⊥平面PAC，故PD与平面

PAC所成的角即为∠CPD．

……………7分

不妨设PA=AB=1，则PC=
．

由于
，

所以CD=
．……………9分

（方法一）

在等腰Rt△PAC中，过点M作ME⊥PC于点E，再在Rt△PCD中作EF⊥PD于点F．因为ME⊥PC，ME⊥CD，所以ME⊥平面PCD，可得ME⊥PD．

又EF⊥PD，所以∠EFM即为二面角C-PD-M的平面角． ……………12分

易知PE=3EC，ME=
，EF=
，

所以tan∠EFM=
，

即二面角C-PD-M的正切值是
．

……………15分

（方法二）

以A点为坐标原点，AC为x轴，建立

如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz．

则P（0,0,1），

M（
），C（1,0,0），D
．

则
，
，
．

若设
和
分别是平面PCD和平面PMD的法向量，则
，可取
．

由
，可取
． ………12分

所以
，

故二面角C-PD-M的余弦值是
，其正切值是
． ……………15分

21．（本题满分14分）

解：（Ⅰ）设右焦点
（其中
），

依题意
，
，所以
． ……………3分

所以
，故椭圆Γ的方程是
． ……………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F（1,0）．将通过焦点F的直线方程
代入椭圆Γ的方程
，可得
，

其判别式
．

特别地，对于直线
，若设
，则

，
. ………………10分

又设
，由于B、D位于直线
的异侧，

所以
与
异号．因此B、D到直线
的距离之和

21．（本小题满分14分）

解: (1)
，……………1分

依题设，有
，即
，……………2分

解得
……………3分

． ……………4分

(2)方程
，即
，得
， ………5分

记
，

则
. ……6分

令
，得
………7分

当
变化时，
、
的变化情况如下表：

∴当
时，F(x)取极小值
；当
时，F(x)取极大值
………