广东五校2015届高三年级联考试题

数 学 (理科)

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1.答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目.

　　2.选择题每小题选出答案后，用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.

　　3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回.

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1．已知
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．设条件p：
；条件q：
，那么p是q的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．已知双曲线
的离心率为
，则双曲线的渐近线方程为

A．
B．
C．
D．

4．下列命题不正确的是

A．如果一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的任意直线，则两平面垂直；

B．如果一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面，则两平面平行；

C．如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；

D．如果两条不同的直线在一平面内的射影互相垂直，则这两条直线垂直.

5．已知函数
则下列结论正确的是 （ ）

是偶函数 B.
的值域为

C.
是周期函数 D.
是增函数

6．在△ABC中，AB=2，AC=3，
，则
.

A.
B.
C.
D.

7．节日里某家前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是 （　　）

A．
B．
C．
D．

8．在空间中,过点
作平面
的垂线,垂足为
,记
.设
是两个不同的平面,对空间任意一点
,
,恒有
,则 （　　）

A．平面
与平面
所成的(锐)二面角为
B．平面
与平面
垂直

C．平面
与平面
平行 D．平面
与平面
所成的(锐)二面角为

二、填空题:本大共7小题,考生作答6小题,每小题5分，满分30分）

(一)必做题(9～13题)

9. 复数
的值是 ．

10.若数列
满足：
，

其前
项和为
，则
．

11. 执行如图的程序框图，那么输出
的值是 .

12. 已知不等式组
所表示的平面区域的面积为
，则
的值为__________.

13．将
六个字母排成一排,且
均在
的同侧,则不同的排法共有________种(用数字作答)

(二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题，两题都做记第一题的得分)

14．（坐标系与参数方程）在平面直角坐标系下，曲线

（
为参数），

曲线

（
为参数）.若曲线
、
有公共点，

则实数
的取值范围____________．

15．（几何证明选讲）如图，点
是圆
上的点,

且
,则
对应的劣弧长为 ．

三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．（本题满分12分）

在平面直角坐标系下，已知
，
，
，
．

（1）求
的表达式和最小正周期；

（2）当
时，求
的值域。

17．（本题满分12分）

某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出
名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段
，
…
后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：

(Ⅰ)求分数在
内的频率，并补全这个

频率分布直方图；

（Ⅱ）统计方法中，同一组数据常用该组

区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的

平均分；

（Ⅲ）若从
名学生中随机抽取
人，抽到

的学生成绩在
记
分，在
记
分，

在
记
分，用
表示抽取结束后的总记分，

求
的分布列和数学期望.

18．（本题满分14分）

如图，△ABC内接于圆O,AB是圆O的直径，四边形DCBE为

平行四边形，DC
平面ABC ,
，

已知AE与平面ABC所成的角为
,且
．

（1）证明：平面ACD
平面
；

（2）记
，
表示三棱锥A－CBE的体积，求
的表达式；

（3）当
取得最大值时，求二面角D－AB－C的大小．

??19．（本题满分14分）

已知数列
中，
，
，其前
项和
满足
，

令
．

（1）求数列
的通项公式；

（2）若
，求证：
（
）.

20．（本题满分14分）

已知椭圆
的中心在坐标原点，两个焦点分别为
，

，点
在椭圆
上，过点
的直线
与抛物线
交于
两点，抛物线
在点
处的切线分别为
，且
与
交于点
.

(1) 求椭圆
的方程；

(2) 是否存在满足
的点
? 若存在，指出这样的点
有几个（不必求出点
的坐标）; 若不存在，说明理由.

21．（本题满分14分）

已知函数
.

(1) 求f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程;

(2) 证明: 曲线y = f (x) 与曲线
有唯一公共点.

(3) 设a

数学（理科）参考答案

一、选择题：（每题5分，共40分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



选项

A

A

C

D

B

A

C

B



二、填空题（每题5分，共30分）

9．
10．
11.
12．1 13．480

14．
（ 或
） 15．

三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．（本题满分12分）

解: 解：（1）
，
…………1分

∴



,

∴

, …………6分

∴
的最小正周期为
, …………8分

（2）∵
∴
∴
．

∴
．所以函数
的值域是
. …………12分

17．（本题满分12分）

(Ⅰ)设分数在
内的频率为
，根据频率分布直方图，

则有
，

可得
，所以频率分布直方图如右图所示.

………………4分

（求解频率3分，画图1分）

（Ⅱ）平均分为：

． …………7分

（Ⅲ）学生成绩在
的有
人，在
的有
人，

在
的有
人.并且
的可能取值是
. …………………………8分

则
；
；
；

；
.

所以
的分布列为

0

1

2

3

4

















………………………………………………………11分

…………………12分

18．（本题满分14分）

解:（１）证明：∵四边形DCBE为平行四边形 ∴
，
------1分

∵ DC
平面ABC ,
平面ABC ∴
． ----------2分

∵AB是圆O的直径 ∴
且

∴

平面ADC．

∵DE//BC ∴

平面ADC ---------------------------------------3分

又∵
平面ADE ∴平面ACD
平面
----------------4分

（2）∵ DC
平面ABC ∴
平面ABC

∴
为AE与平面ABC所成的角，即
＝
-------------------5分

在Rｔ△ABE中，由
,
得
------------6分

在Rｔ△ABC中 ∵
（
）

∴
------------------------------------7分

∴

（
）-----8分

（3）由（2）知

要
取得最大值，当且仅当
取得最大值，

∵
------------------------------------------------------9分

当且仅当
，即
时，“＝”成立，

∴当
取得最大值时
,这时△ACB为等腰直角三角形------------10分

解法1：连结CO，DO

∵AC=BC,DC=DC

∴
≌
∴AD=DB

又∵O为AB的中点 ∴

∴
为二面角D－AB－C的平面角------------12分

在
中 ∵
,

∴
, ∴
=

即当
取得最大值时，二面角D－AB－C为60°．------------------------14分

解法2：以点O为坐标原定，OB为x轴建立空间直角坐标系如图示：

则B(1,0,0)，C(0,1,0)，D(0,1,
)，

∴
,

平面ABC的法向量
，-------------------11分

设平面ABD的法向量为

由
得

令
，则
∴
-------------12分

设二面角D－AB－C的大小为
，则

∴
,即二面角D－AB－C的大小为60°．------------------------------------14分

19．（本题满分14分）

解：【解】

（1）由题意知
即
-------2分

∴
-------3分

-----6分

检验知
、
时，结论也成立，故
． -------7分

（2）由于

--------9分

故

---------11分

． ---------14分

20．（本题满分14分）

（本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识）

解法1：设椭圆
的方程为

,

依题意:
解得:
………2分

∴ 椭圆
的方程为
. ………3分

解法2：设椭圆
的方程为

，

根据椭圆的定义得
，即
， ………1分

∵
， ∴
. ………2分

∴ 椭圆
的方程为
. ………3分

(2)解法1：设点
,
，则
，

，

∵
三点共线, （∴
. ……4分

∴
,

化简得：
. ① ………5分

由
,即
得

. ……6分

∴抛物线
在点
处的切线
的方程为
，即
. ②

同理，抛物线
在点
处的切线
的方程为
. ③ ……………8分

设点
，由②③得：

，

而
，则
. ……………9分

代入②得
， ……………10分

则
，
代入 ① 得
，即点
的轨迹方程为
. ………11分

若
，则点
在椭圆
上，而点
又在直线
上，

…12分

∵直线
经过椭圆
内一点
,

∴直线
与椭圆
交于两点. ………13分

∴满足条件
的点
有两个. …………14分

解法2：设点
,
，
，

由
,即
得

. …………4分

∴抛物线
在点
处的切线
的方程为
，

即
. ………5分

∵
， ∴
.

∵点
在切线
上, ∴
. ① ……6分

同理，
. ② ………7分

综合①、②得，点
的坐标都满足方程
. ………8分

∵经过
的直线是唯一的，

∴直线
的方程为
， ………9分

∵点
在直线
上， ∴
. ………10分

∴点
的轨迹方程为
. ………11分

若
，则点
在椭圆
上，又在直线
上，12分

∵直线
经过椭圆
内一点
,

∴直线
与椭圆
交于两点. ……13分

∴满足条件
的点
有两个. ……14分

解法3：显然直线
的斜率存在，设直线
的方程为
，

由
消去
，得
. ……4分

设
,则
. ………5分

由
,即
得

. ………6分

∴抛物线
在点
处的切线
的方程为
，即
.…7分

∵
， ∴
.

同理,得抛物线
在点
处的切线
的方程为
. ……………8分

由
解得

∴
. ………10分

∵
,

∴点
在椭圆
上. ………11分

∴
.

化简得
.(*) …………12分

由
, ………13分

可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点
有两个. ………14分

21．（本题满分14分）

解：(1) f (x)的反函数
,则y=g(x)过点(1,0)的切线斜率k=
.

.过点(1,0)的切线方程为:y = x+ 1 。。。。。。3分

(2) 证明曲线y=f(x)与曲线
有唯一公共点,过程如下.

因此,

所以,曲线y=f(x)与曲线
只有唯一公共点(0,1).(证毕) 。。。。。8分

(3) 设

令
.

,且

.

所以
。。。。。。。。。。。。。。。。14分

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