2014-2015学年度高三第二学期联考数学理试题

一．选择题(本大题共8个小题；每小题5分，共40分)

1. 已知
是虚数单位，
和
都是实数，且
,则
（ ）

A.
B.
C.
D.

2. 已知
，则
（　　　）

A.1 B. 2 C.3 D.5

3. 数列
满足
，若
，则
=（ ）

A．
B．
C．
D．

4. 已知某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（ ）

A．
B．4 C．
D．6

5.甲、乙两所学校高三级某学年10次联合考试的理科数

学成绩平均分用茎叶图如图所示，则甲乙两所学校的平

均分
及方差
的大小关系为（ ）

A．
B．

C．
D．

6. 如图，矩形
内的阴影部分是由曲线

及直线
与
轴围成，向矩形
内随机投掷一点，

若落在阴影部分的概率为
，则
的值是( )

A .
B.
C .
D.

7. 下列命题中正确命题的个数是（ ）

①“数列
既是等差数列，又是等比数列”的充要条件是“数列
是常数列”；

②不等式
表示的平面区域是一个菱形及其内部；

③f(x)是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，x＞0时的解析式是f(x)＝2x，则x＜0时的解析式为f(x)＝－2－x；

④若两个非零向量
共线，则存在两个非零实数
，使
.

A．4 B．3 C．2 D．1

8. 定义在
上的函数
满足：①
为正常数）；②当
时，
若函数
的图象上所有极小值对应的点均在同一条直线上，则
=（ ）

A.1　　B.2　　C. 1或2　　D. 2或4

二．填空题(本大题共7小题，每小题5分，满分30分）

（一）必做题（9～13题）

9．函数
的定义域为集合
，集合
. 若
，则实数
的取值范围为 ；

10.在
的展开式中含
项的系数为 ；（用数字作答）

11．观察式子：
,由此归纳出一个正确的一般结论为： ；

12.定义某种运算
,
的运算原理如图所示,设
,

,则输出的
的最大值与最小值的差为 ；

抛物线
的焦点为
，过点N(3,0)的直线与抛物线

相交于
两点，与抛物线的准线相交于
，
，

则
与
的面积之比为 ；

（二）选做题 (考生只能选做一题)

14．极坐标系中，圆
的圆心到直线
的距离是 ．

15．如图，圆
的直径
，
为圆周上一点，
，过
作圆的切线
，过点
作直线
的垂线
，
为垂足，
与圆
交于点
，则线段DE的长度为 ．

三．解答题

（本小题满分12分）

设函数
.

(I)求
的最小正周期，并指出由
的图像如何变换得到函数
的图像；

(II)
中角A，B，C的对边分别为
，
，
，若
，
，求
的最小值．

（本小题满分12分）

已知某校的数学专业开设了A,B,C,D四门选修课，甲、乙、丙3名学生必须且只需选修其中一门。

(I)求这3名学生选择的选修课互不相同的概率；

(II)若甲和乙要选同一门课，求选修课A被这3名学生选修的人数X的分布列和数学期望．

（本小题满分14分）

在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1．

(I) 请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线BF∥平面ACD，并证明；

(II)在(I)的条件下，求二面角F-BE-A的正弦值.

（本小题满分14分）

设数列
是公比为正数的等比数列，
，
，数列
满足：

(I)求数列
的通项公式；

(II)求数列
的前n项和
；

（III）数列
满足：
，求证：

（本小题满分14分）

已知点P是椭圆
上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点， O为坐标原点，动点Q满足

＝＋，。

(I)求动点Q的轨迹E的方程；

(II)若与坐标轴不垂直的直线
交轨迹E于
两点且
，求三角形
面积
的取值范围。

（本小题满分14分）

已知函数
,

(
)当
时，存在
（e为自然对数的底数）,使
,求实数a的取值范围;

(II)当
时,

(1)求最大正整数n,使得对任意
个实数
,当
（e为自然对数的底数）时,都有
成立;

(2)设
,在
的图象上是否存在不同的两点

,使得
.

数学(理科)参考答案

一、选择题：（8小题，共40分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

A

A

A

C

D

B

B

C



8.【解析】由已知可得，当
时，

当
时，
当
时，

由题意可知函数
的图象上所有极小值对应的点
共线，则

二、填空题：（共6小题，共30分）

9.
10. 20 11.
12. 2

13.
14.
15 . 2

三．解答题

16．解：(I)∵


3分

∴
的最小正周期
…4分

由
的图像向右平移
个单位长度得到函数
…6分

(II)由

由A∈(0，π)，可得A＝. …8分

由b＋c＝2及余弦定理，得
＝b2＋c2－2bccos ＝(b＋c)2－3bc=4－3bc， …10分

又
仅当b＝c＝1时bc取最大值，此时
取最小值1. …12分

17解：(I) 3名学生选择的选修课所有不同选法有
种； …2分

各人互不相同的选法有
种，互不相同的概率:
; …4分

(II) 选修课A被这3名学生选修的人数X：0，1,2,3, …5分

，
，
…9分

所以X的分布列为

X

0

1

2

3



P











 …10分

数学期望
…12分

18.解法一：（I）由已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB//ED，

设F为线段CE的中点，H是线段CD的中点，

连接FH，则

，∴

， …2分

∴四边形ABFH是平行四边形，∴
，

由
平面ACD内，
平面ACD， …4分

平面ACD； …5分

（II）取AD中点G，

由已知可得平面

平面
，且交于
,
平面ACD

平面

过G作
交BE于K,连CK …8分

由三垂线定理知
,

又
平面BEA,
平面FBE

为二面角F-BE-A的平面角 …10分

由（I）已证AB//ED，知

又AB=1,DE=AD=2

∴所求角的正弦值为
. …14分

或解：（II）由已知条件可知
即为
在平面ABED上的射影，

设所求的二面角的大小为
，则
， …8分

由已知求得BC=BE
，CE
，∴
…10分

而
， …12分

∴
∴所求角的正弦值为
.…14分

解法二：以D点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，使得
轴和
轴的正半轴分别经过点A和点E，则各点的坐标为
，
，
，
，
，…2分

(I)点F应是线段CE的中点，下面证明：

设F是线段CE的中点，则点F的坐标为
，∴
，

显然
与平面
平行，

又
…5分

∴BF∥平面ACD …6分

(II) 设平面BCE的法向量为
，

则
，且
，由
，
，

∴
，不妨设
，则
，即
， …10分

而平面
的一个法向量为
， …11分

∴
，

设二面角F-BE-A的平面角为
,则

∴所求角的正弦值为
. …14分

19解：(I)设数列
的公比为
，由
，
，

得
，即
． …2分

解得
或
， …3分

∵
∴
不合舍去，∴
； …4分

(II)由
得

， …6分

∴数列
是首项
公差
的等差数列， …7分

∴

． …8分

（III）由(I)(II)有
…9分

时，

…12分

所以，原不等式成立。 …14分

其它解法如：
,又如
等参照上面给分

20解：(I)如图由＝＋，又＋＝＝2＝－2， …2分

设Q(x，y)，则＝－＝－(x，y)＝， …4分

即P点坐标为，又P在椭圆上，

则有
，即
. …6分

(II) 当
斜率不存在或为零时，由图可知
…7分

当
斜率存在且不为零时，设
：
，代入

得

…8分

以
代换
同理可得
…9分

…10分

…11分
当且仅当
时等号成立。

而
时，
与
轴或
轴垂直，不合题意。

…13分

而三角形
面积
的取值范围为
…14分

21解:(I)

…1令

则

当
时,
当
时,

…4分

(II) (1)

均为增函数

的最大值为2686. …8分

(2)

原式

①

令
①式
令

在
上是增函数

无零点,故A、B两点不存在…14分

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