玉林市博白县2015届高三下学期返校调研考试

文科数学试题

（考试时量：120分钟 满分150分）

一:单选题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1．已知集合
=

A．
B．

C．
D．

2．如果复数
的实部和虚部互为相反数，那么
等于

A．
B．

C．
D．

16

17

18

19





50

34

41

31



3．某产品在某零售摊位的零售价
（单位：元）与每天的销售量
（单位：个）的统计资料如下表所示：

由右表可得回归直线方程

中的
，据此模型预测零售价为
元时，每天的销售量为

A．
个 B．
个

C．
个 D．
个

4．已知命题
：对任意的
，有
，则
是

A．存在
，有

B．对任意的
，有

C．存在
，有

D．对任意的
，有

5．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k值是

A．
B．

C．
D．

6．已知
，则向量
与
的夹角为

A．
B．

C．
D．

7．如图是一个几何体的三视图，则此三视图所描述几何体的表面积为

A．
B．

C．
D．

8．将函数
的图象向右平移
个单位后，所得图象的一条对称轴方程是

A．
B．

C．
D．

9．若函数
上既是奇函数又是增函数，则
的图象是

A B C D

10．定义
对任意
恒成立，称
在区间
上被
所夹. 若
在
被
和
所夹，则实数
的取值范围

A．
B．

C．
D．

二：填空题：（本题共5小题，每小题5分，共25分。）

11．已知向量
，
, 若
//
, 则实数
等于

12．某单位共有老、中、青职工
人，其中青年职工
人，中年职工人数是老年职工人数的
倍。为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工
人，则该样本中的老年职工人数为_______．

13．设
的内角
所对边的长分别为
. 若

且
则角

14．若
为等差数列，
是其前
项和，且
，则
的值为

15．已知
满足约束条件
（
为常数），若目标函数
的最大值为
，则
的值为 ．

三：解答题：（本大题共6小题，共75分。解答应写出文字学明、证明过程或演算步骤）

16. （本小题满分12分）

设
是正整数集，
，
，

，在集合C中随机取出一个元素
.求：

（Ⅰ）取出的元素是
或
的概率；

（Ⅱ）
的概率.

17．（本小题满分12分）

已知函数
.

（Ⅰ）求函数
的最小正周期；

（Ⅱ）求函数
在区间
上的值域．

18．（本小题满分12分）

在如图所示的几何体中，四边形
为矩形，平面

平面

点
在棱
上．

（Ⅰ）若
为
的中点，求证：
//平面
；

（Ⅱ）若直线
与平面
所成角的正弦值为
，求
的长度．

19．（本小题满分13分）

已知等差数列
的前
项和为

，且
、
、
成等比数列.

(Ⅰ)求
、
的值；

(Ⅱ)若数列
满足
，求数列
的前
项和
.

20．（本小题满分13分）

某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是
(亿元)和
(亿元)，它们与投资额
(亿元)的关系有经验公式
，
,今该公司将
亿元投资这两个项目，其中对甲项目投资
(亿元)，投资这两个项目所获得的总利润为
(亿元)．

求:

(Ⅰ)
关于
的函数表达式；

(Ⅱ) 总利润的最大值．

21．（本小题满分13分）

已知函数
，函数
.

（Ⅰ）如果函数
的图像上的每一点处的切线斜率都是正数，求实数
的取值范围；

（Ⅱ）当
时，你认为函数
的图象与
的图象有多少个公共点？请证明你的结论.

参考答案

数学（文科）

（考试时量：120分钟 满分150分）

参考答案

一：单选题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

C

C

A

B

B

D

B

A

B



二：填空题：（本题共5小题，每小题5分，共25分。）

11．
12． 18 13．

14．
15．

三：解答题：（本大题共6小题，共75分。解答应写出文字学明、证明过程或演算步骤）

16. （本小题满分12分）

解：解：根据已知得
， 2分

由
，解得
.

∴
4分

∴集合C中的元素为：

（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（1，7），

（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（2，7），

（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（3，7）共有15个 6分

(Ⅰ)∵（3，3）、（3，4）都在集合C中，集合C中共有15个元素，

∴在集合C中随机取出一个元素
，

取出的元素是
或
的概率等于
. 9分

（Ⅱ）∵在集合C的元素
中，

满足
的有（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（3，3）一共有6个，

∵
，

∴在集合C中随机取出一个元素
，

的概率等于
. 12分

17．解：(Ⅰ)

4分

所以，周期
． 6分

（Ⅱ）∵
，

∴
8分

∴
的值域为
12分

18．解：(Ⅰ)证明：连接BD，交AC于点O，连接OP．

因为P是DF中点，O为矩形ABCD 对角线的交点，

所以OP为三角形BDF中位线，

所以BF // OP，

因为BF
平面ACP，OP
平面ACP，

所以BF // 平面ACP． 5分

（Ⅱ）因为∠BAF=90o，所以AF⊥AB，

又因为 平面ABEF⊥平面ABCD，

且平面ABEF ∩平面ABCD= AB，

所以AF⊥平面ABCD

从而AF⊥CD

又因为四边形ABCD为矩形

所以AD⊥CD

从而CD⊥平面FAD 8分

所以∠CPD就是直线PC与平面FAD所成的角 10分

又
且
12分

19．(Ⅰ)解法1：当
时，
， 1分

当
时，
2分

. 3分

∵
是等差数列，

∴
，得
. 4分

又
， 5分

∵
成等比数列，

∴
，即
， 6分

解得
. 7分

解法2：设等差数列
的公差为
，

则
. 1分

∵
，

∴
，
，
. 4分

∴
，
，
.

∵
成等比数列，

∴
， 5分

即
.

解得
. 6分

∴
. 7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得
. 8分

∵
，

∴
. 9分

∴

， ① 10分

则有
，② 11分

①
②得

12分

∴
. 13分

20．解：(Ⅰ)根据题意，得

． 4分

(Ⅱ)令
，
，则
， 7分

10分

因为
，所以当
时，

即
时，
取最大值
． 12分

答：总利润的最大值是
亿元． 13分

21．解（Ⅰ）∵
的定义域为
，

函数
的图象上的每一点处的切线斜率都是正数，

∴
在
上恒成立. 2分

∴
在
上恒成立

.∵
在
上恒成立，

∴

∴所求的
的取值方位为
. 6分

（Ⅱ）当
时，函数
的图象与
的图象没有公共点.

理由：当
时，
，

它的定义域为
，
的定义域为
.

当
时，由
得：
. 8分

设
，

则