南京市、盐城市2015届高三年级第二次模拟考试

数 学

填空题

1、函数
的最小正周期为 。

2、已知复数
，其中
是虚数单位，则复数
在复平面上对应的点位

于第 象限。

3、右图是一个算法流程图，如果输入
的值是
，则输出
的值是 。

4、某工厂为了了解一批产品的净重（单位：克）情况，从中随机抽测了100件产品的净重， 所得数据均在区间[96，106]中，其中频率分布直方图如图所示，则在抽测的100件产品中，净重在区[100，104]上的产品件数是 。

若红球，得2分，摸出黑球，得1分，则3次摸球所得总分至少是4分的概率是 。

6、如图，在平面四边形ABCD中，AC,BD相交于点O，E为线段AO的中点，若
（
），则

7、已知平面α，β，直线
，给出下列命题：

①若
，
，则
，②若
，
，则
，③若
，则
，④若
，
，则
.

其中是真命题的是 。（填写所有真命题的序号）。

8、如图，在
中，D是BC上的一点。已知
，

则AB= 。

9、在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线C：
的焦点为F，定点
，若射线FA与抛物线C相交于点M，与抛物线C的准线相交于点N，则FM：MN= 。

10、记等差数列
的前n项和为
，已知
，且数列
也为等差数列，

则
= 。

11、已知知函数
，
，则不等式
的解集是 。

12、在平面直角坐标系
中，已知⊙Ｃ：
，Ａ为⊙Ｃ与x负半轴的交点，过A作⊙Ｃ的弦AB，记线段AB的中点为M.则直线AB的斜率为 。

13、已知
均为锐角，且
，则
的最大值是 。

14、已知函数
，当
时，关于
的方程
的所有解的和为 。

二、解答题

15、在
中，角A、B、C的对边分别为
.已知
.

(1)若
,求
的面积；(2)设向量
，
，且
，求
的值。

16、如图，在四棱锥P—ABCD中，
，
，
，
.（1）求证：
平面
；（2）若M为线段PA的中点，且过
三点的平面与PB交于点N，求PN：PB的值。

17．右图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是矩形ABCD，上部是圆AB，该圆弧所在的圆心为O，为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH（其中E，F在圆弧AB上，G，H在弦AB上）。过O作
，交AB 于M，交EF于N，交圆弧AB于P，已知
（单位：m）,记通风窗EFGH的面积为S（单位：
）

（1）按下列要求建立函数关系式：

（i）设
，将S表示成
的函数；

(ii)设
，将S表示成
的函数；

（2）试问通风窗的高度MN为多少时？通风窗EFGH的面积S最大？

18、如图，在平面直角坐标系
中，椭圆E：
的离心率为
，直线l：
与椭圆E相交于A，B两点，
，C，D是椭圆E上异于A，B两点，且直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N.

（1）求
的值；（2）求证：直线MN的斜率为定值。

19、已知函数
，其中
为常数.

(1)若
,求曲线
在点
处的切线方程.

(2)若
,求证：
有且仅有两个零点；

（3）若
为整数，且当
时，
恒成立，求
的最大值。

20．给定一个数列
，在这个数列里，任取

项，并且不改变它们在数列
中的先后次序，得到的数列
的一个
阶子数列。

已知数列
的通项公式为

，等差数列
，
，
是数列
的一个3子阶数列。

求
的值；

等差数列
是
的一个

阶子数列，且

，求证：

等比数列
是
的一个

阶子数列，

求证：

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数学附加题

21、选做题

A，选修4-1；几何证明选讲

如图，过点A的圆与BC切于点D，且与AB、AC分别交于点E、F.已知AD为∠BAC的平分线，求证：EF||BC

B．选修4-2：矩阵与变换

已知矩阵
，A的逆矩阵

求a,b的值； （2）求A的特征值。

C．选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xoy中，已知曲线C：

，直线l：
.设曲线C与直线l交于A，B两点，求线段AB的长度。

D．选修4-5：不行等式选讲

已知x,y,z都是正数且xyz=1,求证：(1+x)(1+y)(1+z)≥8

22、甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束。除第五局甲队获胜的概率是
外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是
.假设各局比赛结果相互独立.

(1)分别求甲队以3：0，3：1，3：2获胜的概率；

（2）若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3:2，则胜利方得2分、对方得1分.求甲队得分X的分布列及数学期望。

23、（本小题满分10分）

已知
，定义

记
，求
的值；

（2）记
，求
所有可能值的集合。

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数学参考答案

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1．( 2．一 3．－2 4．55 5．

6． 7．③④ 8． 9． 10．50

11．(1，2) 12． 2 13． 14．10000

15．（本小题满分14分）

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．已知cosC＝．

（1）若(＝，求△ABC的面积；

（2）设向量x＝(2sin，)，y＝(cosB，cos)，且x∥y，求sin(B－A)的值．

解：（1）由·＝，得abcosC＝．

又因为cosC＝，所以ab＝＝． …………………… 2分

又C为△ABC的内角，所以sinC＝． …………………… 4分

所以△ABC的面积S＝absinC＝3． …………………… 6分

（2）因为x//y，所以2sincos＝cosB，即sinB＝cosB． ………………… 8分

因为cosB≠0，所以tanB＝．

因为B为三角形的内角，所以B＝． ………………… 10分

所以A＋C＝，所以A＝－C．

所以sin(B－A)＝sin(－A)＝sin(C－)

＝sinC－cosC＝×－×

＝． ………………… 14分

16．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P—ABCD中， AD＝CD＝AB， AB∥DC，AD⊥CD，PC⊥平面ABCD．

（1）求证：BC⊥平面PAC；

（2）若M为线段PA的中点，且过C，D，M三点的平面与PB交于点N，求PN：PB的值．

证明：（1）连结AC．不妨设AD＝1．

因为AD＝CD＝AB，所以CD＝1，AB＝2．

因为(ADC＝90(，所以AC＝，(CAB＝45(．

在△ABC中，由余弦定理得BC＝，所以AC2＋BC2＝AB2．

所以BC(AC． …………………… 3分

因为PC(平面ABCD，BC(平面ABCD，所以BC(PC． …………………… 5分

因为PC(平面PAC，AC(平面PAC，PC∩AC＝C，

所以BC(平面PAC． …………………… 7分

（2）如图，因为AB∥DC，CD(平面CDMN，AB(平面CDMN，

所以AB∥平面CDMN． …………………… 9分

因为AB(平面PAB，

平面PAB∩平面CDMN＝MN，

所以AB∥MN． …………………… 12分

在△PAB中，因为M为线段PA的中点，

所以N为线段PB的中点，

即PN：PB的值为． …………………… 14分

17．（本小题满分14分）

右图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是一个矩形ABCD，上部是圆弧AB，该圆弧所在圆的圆心为O．为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH(其中E，F在圆弧AB上， G，H在弦AB上)．过O作OP(AB，交AB于M，交EF于N，交圆弧AB于P．已知OP＝10，MP＝6.5（单位：m），记通风窗EFGH的面积为S（单位：m2）．

（1）按下列要求建立函数关系式：

(i)设∠POF＝θ (rad)，将S表示成θ的函数；

(ii)设MN＝x (m)，将S表示成x的函数；

（2）试问通风窗的高度MN为多少时，通风窗EFGH的面积S最大？

解：（1）由题意知，OF＝OP＝10，MP＝6.5，故OM＝3.5．

(i)在Rt△ONF中，NF＝OFsinθ＝10sinθ，ON＝OFcosθ＝10cosθ．

在矩形EFGH中，EF＝2MF＝20sinθ，FG＝ON－OM＝10cosθ－3.5，

故S＝EF×FG＝20sinθ(10cosθ－3.5)＝10sinθ(20cosθ－7)．

即所求函数关系是S＝10sinθ(20cosθ－7)，0＜θ＜θ0，其中cosθ0＝．

………… 4分

(ii)因为MN＝x，OM＝3.5，所以ON＝x＋3.5．

在Rt△ONF中，NF＝＝＝．

在矩形EFGH中，EF＝2NF＝，FG＝MN＝x，

故S＝EF×FG＝x．

即所求函数关系是S＝x，0＜x＜6.5． ………… 8分

（2）方法一：选择(i)中的函数模型：

令f(θ)＝sinθ(20cosθ－7)，

则f ′(θ)＝cosθ(20cosθ－7)＋sinθ(－20sinθ)＝40cos2θ－7cosθ－20．………… 10分

由f ′(θ)＝40cos2θ－7cosθ－20＝0，解得cosθ＝，或cosθ＝－．

因为0＜θ＜θ0，所以cosθ＞cosθ0，所以cosθ＝．

设cosα＝，且α为锐角，

则当θ∈(0，α)时，f ′(θ)＞0 ，f(θ)是增函数；当θ∈(α，θ0)时，f ′(θ)＜0 ，f(θ)是减函数，

所以当θ＝α，即cosθ＝时，f(θ)取到最大值，此时S有最大值．

即MN＝10cosθ－3.5＝4.5m时，通风窗的面积最大． ………… 14分

方法二：选择(ii)中的函数模型：

因为S＝ ，令f(x)＝x2(351－28x－4x2)，

则f ′(x)＝－2x(2x－9)(4x＋39)． ……… 10分

因为当0＜x＜时 ，f ′(x)＞0，f(x)单调递增，当＜x＜时，f ′(x)＜0，f(x)单调递减，

所以当x＝时，f(x)取到最大值，此时S有最大值．

即MN＝x＝4.5m时，通风窗的面积最大． ………… 14分

18．（本小题满分16分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0) 的离心率为，直线l：y＝x与椭圆E相交于A，B两点，AB＝2．C，D是椭圆E上异于A，B的任意两点，且直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N．

（1）求a，b的值；

（2）求证：直线MN的斜率为定值．

解：（1）因为e＝＝，所以c2＝a2，即a2－b2＝a2，所以a2＝2b2．…… 2分

故椭圆方程为＋＝1．

由题意，不妨设点A在第一象限，点B在第三象限．

由解得A(b，b)．

又AB＝2，所以OA＝，即b2＋b2＝5，解得b2＝3．

故a＝，b＝． ……………… 5分

（2）方法一：由（1）知，椭圆E的方程为 ＋＝1，从而A(2，1)，B(－2，－1)．

①当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2，C(x0，y0)，

显然k1≠k2．

从而k1 ·kCB＝·＝＝＝＝－．

所以kCB＝－． …………………… 8分

同理kDB＝－．

于是直线AD的方程为y－1＝k2(x－2)，直线BC的方程为y＋1＝－(x＋2)．

由解得

从而点N的坐标为(，)．

用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为(，