玉林市博白县2015届高三下学期返校调研考试

理科数学试题

（考试时量：120分钟 满分150分）

一:单选题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1．设复数
，
，若
，则

A．
B．

C．
D．

．下列命题中的假命题是

A．

B．

C．

D．
，使函数
的图像关于
轴对称

对于定义在实数集R上的狄利克雷函数
，则下列说法中正确的是

A．
的值域是
B．
的最小正周期是

C．
是奇函数 D．
是偶函数

4．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为

A.
B.

C.
D.

5．已知
，若
，则

A.
B.

C.
或
D.

6．已知随机变量
服从正态分布
，且
，则

A．
B．

C．
D．

7．已知函数
的

部分图象如图所示，则

A．
B．

C．
D．

8．在“学雷锋，我是志愿者”活动中，有
名志愿者要分配到
个不同的社区参加服务，每个社区分配
名志愿者，其中甲、乙两人分到同一社区，则不同的分配方案共有

A.
种 B.
种

C.
种 D.
种

9．在平面直角坐标系中,
为坐标原点,点
,将向量
绕点
按逆时针方向旋转
后得向量
,若向量
满足
，则
的最大值是

A．
B．

C．
D．

10．已知函数
是定义域为
的偶函数. 当
时，
若关于
的方程
，
有且仅有6个不同实数根，则实数
的取值范围是

A．
B．

C.
D．

二.填空题：（本题共5小题，每小题5分，共25分）

11．已知函数
，则
的解集为

12．春节期间，某销售公司每天销售某种取暖商品的销售额
（单位：万元）与当天的平

均气温
（单位：℃）有关.现收集了春节期间这个销售公司
天的
与
的数据列于下

表：

平均气温（℃）











销售额（万元）











根据以上数据，用线性回归的方法，求得
与
之间的线性回归方程
的系数
，则
.

13．在等比数列
中，
，且
、
、
成等差数列，则通项公式

14．某程序框图如右图所示,该程序运行后,输出的
值为
,则
等于_____

15．定义函数
，其中
表示不小于
的最小整数，如
，
.当
，
时，函数
的值域为
，记集合
中元素的个数为
，则
________

三：解答题：（本大题共6小题，共75分。解答应写出文字学明、证明过程或演算步骤）

16.(本小题满分12分)

某重点大学自主招生考试过程依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核。规定：只能通过前一轮考核才能进入下一轮的考核，否则将被淘汰；三轮考核都通过才算通过该高校的自主招生考试。学生甲三轮考试通过的概率分别为
、
、
，且各轮考核通过与否相互独立。

(Ⅰ)求甲通过该高校自主招生考试的概率；

（Ⅱ）若学生甲每通过一轮考核，则家长奖励人民币
元作为大学学习的教育基金。记学生甲得到教育基金的金额为
，求
的分布列和数学期望。

17．(本小题满分12分)

在
中，内角
所对的边分别是
. 已知
，
，
.

(Ⅰ)求
的值；

（Ⅱ）求
的面积

18．(本小题满分12分)

如图,三棱柱
中,
,
,平面
平面
,
与
相交于点
.

(Ⅰ) 求证:
平面
；

(Ⅱ) 求二面角
的余弦值.

19．(本小题满分13分)

某城市旅游资源丰富，经调查，在过去的一个月内(以
天计)，第
天的旅游人数
(万人)近似地满足
，而人均消费
(元)近似地满足

.

（Ⅰ）求该城市的旅游日收益
(万元)与时间
(
，
)的函数关系式；

（Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值.

20．(本小题满分13分)

若数列
的前
项和为
，对任意正整数
都有
.

(Ⅰ)求数列
的通项公式；

（Ⅱ）令
，求数列
的前
项和

21．(本小题满分13分)

已知函数
，函数
.

（Ⅰ）如果
在
上是单调递增函数，求实数
的取值范围；

（Ⅱ）当
且
时，比较
与
的大小.

数学（理科）答案

（考试时量：120分钟 满分150分）

参考答案

一：单选题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

A

C

D

C

D

B

D

B

B

C



二：填空题：（本题共5小题，每小题5分，共25分。）

11．
12．
13．
14．

15．

三：解答题：（本大题共6小题，共75分。解答应写出文字学明、证明过程或演算步骤）

16.(本小题满分12分)

解析：（Ⅰ）设“学生甲通过该高校自主招生考试”为事件A，

则P(A)＝

所以学生甲通过该高校自主招生考试的概率为
4分

（Ⅱ）
的可能取值为0元，1000元，2000元，3000元 5分

，

，

9分

所以，
的分布列为

数学期望为
12分

17．(本小题满分12分)

解析：（Ⅰ）因
，故
. 2分

因
，故
. 4分

由正弦定理
，得
. 6分

（Ⅱ）
. 8分

. 10分

则
的面积为
. 12分

18．(本小题满分12分)

解：(Ⅰ)依题意,侧面
是菱形,
是
的中点,

因为
,所以
,

又平面
平面
,且
平面
,

平面
平面

所以
平面
. 4分

(Ⅱ)方法一：由(Ⅰ)知
平面
,
面
,

所以
,

又
,
,

所以
平面
,

过
作
,垂足为
,连结
,

则
,

所以
为二面角
的平面角. 7分

在
中,
,

所以
,
10分

所以
,

即二面角
的余弦值是
. 12分

方法二：以
为原点,建立空间直角坐标系
如图所示, 5分

由已知可得

故
,

则
, 7分

设平面
的一个法向量是
,

则
,即
,解得

令
,得
9分

显然
是平面
的一个法向量, 10分

所以
,

即二面角
的余弦值是
. 12分

19．(本小题满分13分)

解：（Ⅰ）

6分

（Ⅱ）①当t∈[1,25]时，W(t)=401＋4t＋≥401＋2＝441

(当且仅当
时取等号)

所以，当
时，W(t)取得最小值441. 8分

②当t∈(25,30]时，因为W(t)＝
单调递减，

所以t＝30时，W(t)有最小值
， 11分

综上，t∈[1,30]时，旅游日收益W(t)的最小值为441万元. 13分

20．(本小题满分13分)

解析：（Ⅰ）由
，得
，解得
．