南昌市2014—2015学年度高三第一次模拟测试

数学（理）试题

注意事项：

1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．回答第I卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．

3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效．

4．考试结束，将本试题和答题卡一并交同．

第I卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、已知
为虚数单位，则复数
在复平面内对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2、若集合
，
，则
（ ）

A．
B．

C．
D．

3、如图，在正四棱柱
中，点
是面
内一点，则三棱锥
的正视图与侧视图的面积之比为（ ）

A．
B．
C．
D．

4、已知过定点
的直线
与曲线
相交于
，
两点，
为坐标原点，当
的面积取到最大值时，直线
的倾斜角为（ ）

A．
B．
C．
D．不存在

5、已知实数
，
满足
，若目标函数
的最大值与最小值的差为
，则实数
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

6、在
中，角
，
，
所对的边分别是
，
，
，若
，
，
，则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

7、以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线
的一条渐近线倾斜角为
，则双曲线
的离心率为（ ）

A．
或
B．
或
C．
D．

8、如图所示程序框图，其功能是输入
的值，输出相应的
值．若要使输入的
值与输出的
值相等，则这样的
值有（ ）

A．
个 B．
个 C．
个 D．
个

9、给出下列命题：

①若
，则

②
，
，
是三个不同的平面，则“
，
”是“
”的充分条件

③已知
，则

其中正确命题的个数为（ ）

A．
B．
C．
D．

10、如图，
，
分别是函数
（
，
）的图象与两条直线

，

（
）的两个交点，记
，则
图象大致是（ ）

A． B． C． D．

11、设无穷数列
，如果存在常数
，对于任意给定的正数
（无论多小），总存在正整数
，使得
时，恒有
成立，就称数列
的极限为
．则四个无穷数列：①
；②
；③
；④
，其极限为2共有（ ）

A．
个 B．
个 C．
个 D．
个

12、设函数
，其中
，
，存在
使得
成立，则实数
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两个部分．第(13)题一第(21)题为必考题，每个考生都必须作答．第(22)题一第(24)题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

13、
，
，
，
四封不同的信随机放入
，
，
，

个不同的信封里，每个信封至少有一封信，其中
没有放入
中的概率是 ．

14、已知直三棱柱
中，
，侧面
的面积为
，则直三棱柱
外接球表面积的最小值为 ．

15、已知三角形
中，
，
，
，
，若
是
边上的动点，则
的取值范围是 ．

16、已知函数
，若关于
的方程
有且只有一个实数解，则实数
的取值范围为 ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17、（本小题满分12分）已知等差数列
的前
项和为
，
，
，正项数列
满足
．

求数列
，
的通项公式；

若
对
均成立，求实数
的取值范围．

18、（本小题满分12分）某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市学生体能测试成绩
服从正态分布
（满分为
分），已知
，
，现从该市高三学生中随机抽取三位同学．

求抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间
，
，
各有一位同学的概率；

记抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间
的人数为
，求随机变量
的分布列和数学期望
．

19、（本小题满分12分）如图，
是圆
的直径，
、
是圆
上两点，
，
圆
所在的平面，
．

求证：
平面
；

若
与平面
所成角的正弦值为
时，求
的值．

20、（本小题满分12分）已知圆

经过椭圆

（
）的左、右焦点
、
，且与椭圆
在第一象限的交点为
，且
，
，
三点共线．直线
交椭圆
于
，
两点，且
（
）．

求椭圆
的方程；

当三角形
的面积取到最大值时，求直线
的方程．

21、（本小题满分12分）已知函数
（
）．

当
时，求
的极值；

若
，
存在两个极值点
，
，试比较
与
的大小；

求证：
（
，
）．

请考生从第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．

22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图所示，
为圆
的切线，
为切点，
交圆
于
，
两点，
，
，
的角平分线与
和圆
分别交于点
和
．

求证：
；

求
的值．

23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

以坐标原点为极点，以
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线
的参数方程为
（
为参数）．

曲线
在点
处的切线为
，求
的极坐标方程；

点
的极坐标为
，且当参数
时，过点
的直线
与曲线
有两个不同的交点，试求直线
的斜率的取值范围．

24、（本大题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
（
）．

若
，解关于
的不等式
；

若对任意的
都有
，求
的取值范围．

参考答案

一、选择题

题目

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

D

A

A

A

C

C

B

B

B

C

D

A



二、填空题

13.
14.
15.
16

三、解答题

17. （Ⅰ）解：等差数列
，
，
，
，故
………3分

，
得

，

,满足通项公式，故
………7分

（Ⅱ）设
恒成立
恒成立，设

当
时，
，
单调递减， ………10分

，故
. ………12分

18. 解：（Ⅰ）
，
，

所以所求概率
； ………6分（每个结果各2分）

（Ⅱ）
，

所以
服从二项分别
，

，
，………8分

，
，………10分

所以随机变量
的分布列是

0

1

2

3
















（人）. ………12分

19. 解：（Ⅰ）作
于
,连接
,
∥
…①

是圆
的直径，
，

,
, ………2分

,

,

∥
…②，………4分

由①②，且
,

平面
∥平面
,
平面
,
平面

∥ 平面
………6分

（Ⅱ）依题意，如图以A为原点，直线AB，AP分别为x,z轴建立空间坐标系，设

设面
的法向量为
，设
与平面
所成角为

设
，
， ………8分

………10分

………12分

20．（Ⅰ）解：如图圆
经过椭圆
的左右焦点
,

三点共线,

为圆
的直径,

,
,
………2分

,

，解得
， ………4分

椭圆
的方程
， ………5分

（Ⅱ）点
的坐标


， 所以直线的斜率为
， ………6分

故设直线的方程为

，设

，
………8分

点
到直线的距离

………10分

当且仅当
，即
，直线的方程为
………12分

21.解：（Ⅰ）
，定义域
，

，
递减，
递增

故
，没有极大值. ………3分

（Ⅱ）
，
，

………4分

，
，

，
………5分

设
，当
时，
，

当
时，
，
………7分

在
上递减，
，即
恒成立

综上述
………8分

（Ⅲ）当
时，
恒成立，即
恒成立

设

，即
，

………12分

22.解：（Ⅰ）∵
为圆
的切线,
又
为公共角,

…………4分

（2）∵
为圆
的切线,
是过点
的割线,
………6分

又∵

又由（Ⅰ）知
,连接
,则

， ………8分

………10分

23.解：（Ⅰ）

点
在圆上，故切线方程为
………2分

，切线的极坐标方程：
………5分

（Ⅱ）
与半圆
相切时

，
（舍去）……….8分

设点

,

故直线
的斜率的取值范围为
. ………10分

24．解：（Ⅰ）当
时，不等式
即

显然
，当
时，原不等式可化为：

……2分

当
时，原不等式可化为：
或

或
∴
………4分

综上得：当
时，原不等式的解集为
………5分

（Ⅱ）∵对任意
都有
即


，
恒成立 ……….6分

设
，
，
,则对任意
，

恒成立

，
………7分

∵
当
时
∴函数
在
上单调递增，

∴
………8分

又∵
＝
，∴
在
上递减,
上递增

∴
. ………9分

故
………10分

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