甘肃省2015年高三第一次高考诊断

数学（理）试题

注意事项:

1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自已的姓名、准考 证号填写答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框。写在本试卷上无效。

3.回答第II时，将合案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。

第I卷(选择题，共60分)

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合
，集合
，则
=

2.设
是虚数单位，复数
为

3.已知向量
，则下列关系式成立的是

A. a

4.函数
的图象向右平移
个单位后与函数
的图象重合,则
的解析式为

A.
B.
C.
D.

5．数字“2015”中，各位数字相加和为8，称该数为“如意四位数”，则用数字0,1,2,3,4,5组成的无重复数字且大于2015的“如意四位数”有( )个

A.18 B.22 C.23 D．24

6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

7．阅读如图所示的程序框图，若输入的n= 10，则该算法的功能是

A．计算数列{2n－1}的前11项和

B．计算数列{2n－1}的前10项和

C．计算数列{2n-1}的前11项和

D．计算数列{2n-1}的前10项和

8.若
满足约束条件
且向量a=(3,2)，b=(x,y)，则a,b的取值范围

9．已知面积为S的凸四边形中，四条边长分别记为a1，a2，a3，a4，点P为四边形内任意一点，且点P到四边的距离分别记为h1，h2，h3，h4，若
，则
类比以上性质，体积为y的三棱锥的每个面的面积分别记为Sl，S2，S3，S4，此三棱锥内任一点Q到每个面的距离分别为H1,H2,H3,H4，若
，则H1+2H2 +3H3+4H4 =

A．
B．
C．
D．

10.已知△ABC的三边长a，b，c成等差数列，且a2 +b2+c2= 84，则实数b的取值范围是

A．[
] B.（
] C．[
] D．（
]

11．在平面直角坐标系xOy中，以椭圆
（a>b>0）上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B，C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是

A．（
） B．（
） C．（
） D．（
）

12．已知函数
，存在
的零点xo（xo≠0），满足
，则
的取值范围是

A．（一
B．

C.
D．

第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．
展开式中的常数项为 ．

14．直三棱柱ABC –A1B1C1，的顶点在同一个球面上，AB=3,AC=4,AA1=2
,∠BAC=90°，则球的表面积 ．

15.下面给出的命题中：

①m=-2”是直线(m +2)x+my +1=0与“直线（m -2）x+(m+2))y一3=0相互垂直”的必要不充分条件；

②已知函数
，则

；

③已知
服从正态分布
，且
，则P(
>2)=0.2；

④已知Oc1：X2+ y2 +2x=o,OC2：X2+广+2y -1=o，则这两圆恰有2条公切线；

⑤线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越小．其中是真命题的序号有

16.设数列
的前n项和为Sn，已知
，设
，数列
的前n项和为Tn，若对一切
均有
，则实数m的取值范围是 。

三、解答题：本大题共6小题-共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

17．（本小题满分12分）

在△ABC中，角以，A，B，C对边分别为a，b,c，若b cosA +a cosB=-2ccos C．

(I)求角C的大小；

(Ⅱ)若a+b =6，且△ABC的面积为2
，求边c的长．

18.（本小题满分12分）

多面体ABCDE中，△ABC是边长为2的正三角形，AE >1，

AE⊥平面ABC，平面BCD ⊥平面ABC,BD＝CD，且BD⊥CD.．

(I)若AE =2，求证：AC∥平面BDE；

(Ⅱ)若二面角A一DE一B的余弦值为
，求AE的长．

19.（本小题满分12分）

某市为了治理污染，改善空气质量，市环境保护局决定每天在城区主要路段洒水防尘，为了给洒水车供水，供水部门决定最多修建3处供水站．根据过去30个月的资料显示，每月洒水量X（单位：百立方米）与气温和降雨量有关，且每月的洒水量都在20以上，其中不足40的月份有10个月,不低于40且不超过60的月份有15个月，超过60的月份有5个月．将月洒水量在以上三段的频率作为相应的概率，并假设各月的洒水量相互独立．

(I)求未来的3个月中，至多有1个月的洒水虽超过60的概率；

(II)供水部门希望修建的供水站尽可能运行，但每月供水站运行的数量受月洒水量限制，有如下关系：

若某供水站运行，月利润为12000元；若某供水站不运行，月亏损6000元．欲使供水站的月总利润的均值最大，应修建几处供水站？

20.（本小题满分12分）

已知中心在坐标原点，焦点在石轴上的椭圆 C的离心率为
，其—个顶点是抛物线
的焦点．

(I)求椭圆C的标准方程；

(II)是否存在过点P(2，1)的直线
与椭圆C相交于不同的两点A，B，且满足向量
,存在，求出的直线
的方程，若不存在，说明理由．

一4…

21．（本小题满分12分）

已知函数
．

(I)当时
时，求函数
的单调区间；

(II)当
时，函数y=
的图象上的点都在
所表示的平面区域内，求实数口的取值范围，

请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答题第一题评分；多答按所答第一题评分．

22.(本小题满分10分)

如图，点
是圆
的直径
的延长线上一点，
是圆
的切线，
为切点，
的平分线
与
相交于点
，与
相交于点
.

( I ) 求
的度数；

( II )若
，求
的值.

23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，直线
的参数方程为
(
为参数)，以原点
为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆
的极坐标方程为
.

( I )若
，求圆
的直角坐标方程与直线
的普通方程；

( II )设直线
截圆
的弦长等于圆
的半径长的
倍，求
的值.

24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲

已知函数
，且
恒成立.

( I )求
的取值范围；

( II )当
取最大值时，解关于
的不等式:
.

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