河北唐山2015高三第一次模拟考试数学文

一. 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ）

1. 已知全集
，
，
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

2.
（ ）

A.
B.
C.
D.

3. 已知抛物线的焦点
（
），则抛物线的标准方程是（ ）

A.
B.
C.
D.

4. 命题

，
；命题

，函数
的图象过点
，则（ ）

A.
假
假 B.
真
假

C.
假
真 D.
真
真

5. 执行右边的程序框图，则输出的
是（ ）

A.
B.

C.
D.

6. 设
，
满足约束条件
，则
的最大值为（ ）

A.
B.
C.
D.

7. 在直角梯形
中，
，
，
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A.
B.

C.
D.

9. 已知
，则
（ ）

A.
或
B.
或
C.
D.

10. 函数
的值域为（ ）

A.
B.
C.
D.

11.
是双曲线

（
，
）的右焦点，过点
向
的一条渐近线引垂线，垂足为
，交另一条渐近线于点
. 若
，则
的离心率是（ ）

A.
B.
C.
D.

12. 直线
分别与曲线
，
交于
，
，则
的最小值为（ ）

A.
B.
C.
D.

二. 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分. ）

13. 函数
的定义域是 .

14. 已知
，
，若
，则
.

15. 一枚质地均匀的正方体玩具，四个面标有数字
，其余两个面标有数字
，抛掷两次，所得向上数字相同的概率是 .

16. 在半径为
的球面上有不同的四点
，
，
，
，若
，则平面
被球所截得图形的面积为 .

三. 解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明. 证明过程或演算步骤. ）

17. （本小题满分12分）设数列
的前
项和为
，满足
，且
.

求
的通项公式；

若
，
，
成等差数列，求证：
，
，
成等差数列.

18. （本小题满分12分）为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖情况，得如下实验数据：

天数
（天）

3

4

5

6

7



繁殖个数
（千个）



3

4



6




求
关于
的线性回归方程；

利用
中的回归方程，预测
时，细菌繁殖个数.

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：

，
.

19. （本小题满分12分）如图，在斜三棱柱
中，侧面
与侧面
都是菱形，
，
.

求证：
；

若
，求四棱锥
的体积.

20. （本小题满分12分）已知圆

，点
，以线段
为直径的圆
内切于圆
，记点
的轨迹为
.

求曲线
的方程；

当
与圆
相切时，求直线
的方程.

21. （本小题满分12分）已知函数
，
.

若函数
在定义域上是增函数，求
的取值范围；

求
的最大值.

请考生在第22. 23. 24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.

22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，圆周角
的平分线与圆交于点
，过点
的切线与弦
的延长线交于点
，
交
于点
.

求证：
；

若
，
，
，
四点共圆，且
，求
.

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知椭圆

，直线

（
为参数）.

写出椭圆
的参数方程及直线
的普通方程；

设
，若椭圆
上的点
满足到点
的距离与其到直线
的距离相等，求点
的坐标.

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
.

当
时，解不等式
；

若
的最小值为
，求
的值.

参考答案

一. 选择题：

1. B 2. D 3. A 4. C 5. B 6. D 7. B 8. C 9. A 10. D 11. A 12. C

二. 填空题：

13. （－∞，－1] 14.  15.  16. 3π

三. 解答题：

17. 解：（I）当n＝1时，由（1－q）S1＋q＝1，

当n≥2时，由（1－q）Sn＋qn＝1，得（1－q）Sn－1＋qn－1＝1，两式相减得（1－q）an＋qn－qn－1＝0，

因为q（q－1）≠0，得an＝qn－1，当n＝1时，a1＝1.

综上an＝qn－1. …6分

（II）由（I）可知＝q，所以{an}是以1为首项，q为公比的等比数列.

所以Sn＝，又S3＋S6＝2S9，得＋＝，

化简得a3＋a6＝2a9，两边同除以q得a2＋a5＝2a8.

故a2，a8，a5成等差数列. …12分

18. 解：（I）由表中数据计算得，＝5，＝4，＝8. 5，＝10，

＝＝0. 85，＝－＝－0. 25.

所以，回归方程为＝0. 85t－0. 25. …8分

（II）将t＝8代入（I）的回归方程中得＝0. 85×8－0. 25＝6.55.

故预测t＝8时，细菌繁殖个数为6. 55千个. …12分

19. 解：（I）证明：连AC1，CB1，则

△ACC1和△B1CC1皆为正三角形.

取CC1中点O，连OA，OB1，则

CC1⊥OA，CC1⊥OB1，则

CC1⊥平面OAB1，则CC1⊥AB1. …6分

（II）解：由（I）知，OA＝OB1＝，又AB1＝，

所以OA⊥OB1. 又OA⊥CC1，OB1∩CC1＝O，

所以OA⊥平面BB1C1 C.

S□BB1C1C＝BC×BB1sin60°＝2，

故VA－BB1C1C＝S□BB1C1C×OA＝2. …12分

20. 解：（I）设切点为P，连OO1，O1P，

则|OO1|＋|O1P|＝|OP|＝2，取A关于y轴的对称点A(，连A(B，故

|A(B|＋|AB|＝2（|OO1|＋|O1P|）＝4.

所以点B的轨迹是以A(，A为焦点，长轴长为4的椭圆.

其中，a＝2，c＝，b＝1，则

曲线Γ的方程为＋y2＝1. …5分

（II）因为OB与圆O1相切，所以⊥.

设B（x0，y0），则x0（x0－）＋y＝0. …7分

又
，解得x0＝，y0＝±.

则kOB＝±，kAB＝
，…10分

则直线AB的方程为y＝±（x－），即x＋y－＝0或x－y－＝0…12分

21. 解：（I）由题意得x＞0，f(（x）＝1－＋. …1分

由函数f（x）在定义域上是增函数得，f(（x）≥0，即a≥2x－x2＝－（x－1）2＋1（x＞0）.

因为－（x－1）2＋1≤1（当x＝1时，取等号），

所以a的取值范围是[1，＋∞）. …5分

（Ⅱ）g(（x）＝ex（－1＋2lnx－x），…7分

由（I）得a＝2时，f（x）＝x－2lnx－＋1

且f（x）在定义域上是增函数得，又f（1）＝0，

所以，当x∈（0，1）时，f（x）＜0，当x∈（1，＋∞）时，f（x）＞0. …10分

所以，当x∈（0，1）时，g(（x）＞0，当x∈（1，＋∞）时，g(（x）＜0.

故x＝1时，g（x）取得最大值－e. …12分

22. 解：（I）证明：因为∠EDC＝∠DAC，∠DAC＝∠DAB，∠DAB＝∠DCB，

所以∠EDC＝∠DCB，

所以BC∥DE. …4分

（II）解：因为D，E，C，F四点共圆，所以∠CFA＝∠CED

由（1）知∠ACF＝∠CED，所以∠CFA＝∠ACF.

设∠DAC＝∠DAB＝x，

因为＝，所以∠CBA＝∠BAC＝2x，

所以∠CFA＝∠FBA＋∠FAB＝3x，

在等腰△ACF中，π＝∠CFA＋∠ACF＋∠CAF＝7x，则x＝，

所以∠BAC＝2x＝. …10分

23. 解：（I）C：（θ为为参数），l：x－y＋9＝0. …4分

（Ⅱ）设P（2cosθ，sinθ）,则|AP|＝＝2－cosθ，

P到直线l的距离d＝＝.

由|AP|＝d得3sinθ－4cosθ＝5，又sin2θ＋cos2θ＝1，得sinθ＝，cosθ＝
.故P（－，）. …10分

24. 解：（I）因为f（x）＝|2x－1|＋|x＋1|＝