河南省商丘市2015届高三第一次模拟考试数学（文）试题

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．若集合A＝{x｜－2＜x＜1}，B＝{x｜0＜x＜2}，则集合A∩B＝

A．{x｜－1＜x＜1} B．{x｜－2＜x＜1}

C．{x｜－2＜x＜2} D．{x｜0＜x＜1}

2．设复数z满足（1－i）z＝2i，则z＝

A．－1－i B．－1＋i C．1＋i D．1－i

3．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．已知cosα＝－
，且α∈（
，π），则tan（
－α）＝

A．－
B．－7 C．
D．7

5．若双曲线
（a＞0）的离心率为2，则a

等于

A．2 B．

C．
D．1

6．下面框图表示的程序所输出的结果是

A．1320 B．132

C．11880 D．121

7．如图是一个几何体的三视图（侧视图中的弧线是半

圆），则该几何体的表面积是

A．20＋3π B．24＋3π C．20＋4π D．24＋4π

8．已知平面向量a，b，满足a＝（1，
）,｜b｜＝3，

a⊥（a－2b），则｜a－b｜＝

A．2 B．3

C．4 D．6

9．若圆C：
＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点（a，b）向圆所作的切线长的最小值是

A．2 B．3 C ．4 D．6

10．各项不为零的等差数列{
}中，2a3－
＋2a11＝0，数列{
}是等比数列，且b7＝a7，

则b6b8＝

A．2 B．4 C．8 D．16

11．如图，圆C内切于扇形AOB，∠AOB＝
，若在扇形AOB内

任取一点，则该点在圆C内的概率为

A．
B．

C．
D．

12．若函数f（x）满足f（x）＋1＝
，当x∈[0，1]时，f（x）＝x，若在区间

（－1，1]上，g（x）＝f（x）－mx－2m有两个零点，则实数m的取值范围是

A．0＜m≤
B．0＜m＜
C．
＜m≤1 D．
＜m＜1

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题－第21题为必考题。每个试题考生都必须做答。第22题－第24题为选考题．考生根据要求做答。

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．若x，y满足不等式组
则
的最小值为_____________．

14．若正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则它的外接球的体积为____________．

15．已知以F为焦点的抛物线
＝4x上的两点A，B满足
＝2
，则弦AB中点到准线的距离为_____________．

x

－1

0

4

5



f（x）

1

2

2

1



16．已知函数f（x）的定义域为[－1，5]，部分对应值如右

表，f（x）的导函数y＝
的图象如图所示，

下列关于f（x）的命题：

①函数f（x）是周期函数；

②函数f（x）在[0，2]上是减函数；

③如果当x∈[－1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的

最大值是4；

④当1＜a＜2时，函数y＝f（x）－a有4个零点；

⑤函数y＝f（x）－a的零点个数可能为0，1，2，3，4．

其中正确命题的序号是___________________（写出所有正确命题的序号）．

三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝2，向量m＝（c，
b），

n＝（cosC，sinB），且m∥n．

（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）若sin（A＋B），sin2A，sin（B－A）成等差数列，求边a的大小．

18．（本小题满分12分）

为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调

查，得到如下列联表（平均每天喝500ml以上为常喝，体重超过50kg为肥胖）：

常喝

不常喝

合计



肥胖



2





不肥胖



18





合计





30





已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为
．

（Ⅰ）请将上面的列联表补充完整；

（Ⅱ）是否有99．5％的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关?说明你的理由；

（Ⅲ）现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中（2名女生），抽取2人参加电视节目，则正好抽到一男一女的概率是多少?参考数据：

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是直角梯形ABCD，

其中AD⊥AB，CD∥AB，AB＝4，CD＝2，侧面PAD是

边长为2的等边三角形，且与底面ABCD垂直，E为PA

的中点．

（Ⅰ）求证：DE∥平面PBC；

（Ⅱ）求三棱锥A－PBC的体积．

20．（本小题满分12分）

已知直线l：y＝
x－2
过椭圆C：
（a＞b＞0）的右焦点，且椭圆的离

心率为
．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点D（0，1）的直线与椭圆C交于点A，B，求△AOB的面积的最大值．

21．（本小题满分12分）

已知函数f（x）＝
－bx＋lnx（a，b∈R）．

（Ⅰ）若a＝b＝1，求f（x）点（1，f（1））处的切线方程；

（Ⅱ）设a＜0，求f（x）的单调区间；

（Ⅲ）设a＜0，且对任意的x＞0，f（x）≤f（2），试比较ln（－a）与－2b的大小．

请考生在第22、23、24三道题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，四边形ACED是圆内接四边形，AD、CE的延

长线交于点B，且AD＝DE，AB＝2AC．

（Ⅰ）求证：BE＝2AD；

（Ⅱ）当AC＝2，BC＝4时，求AD的长．

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知直线l经过点P（
，1），倾斜角α＝
，圆C的极坐标方程为
＝
cos（θ－

）．

（Ⅰ）写出直线l的参数方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）设l与圆C相交于A，B两点，求点P到A，B两点的距离之积．

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知a＋b＝1，对
，b∈（0，＋∞），
＋
≥｜2x－1｜－｜x＋1｜恒成立，

（Ⅰ）求
＋
的最小值；

（Ⅱ）求x的取值范围。

商丘市2014～2015学年度第一次模拟考试

高三数学（文科）参考答案

一、选择题

1-4 DBBD; 5-8 DAAB; 9-12 CDCA.

二、填空题

(13)
； (14)
; (15)
; (16)②⑤.

三、解答题

(17)解析：(I)由
, 得
，…………………1分

由正弦定理可得
,…………………3分

， ………………………………4分

,
.………………………6分

(II)
成等差数列，

,………………………7分

得
,得
，

∴
或
，得
或
.……………8分

①若
，
,则
;…………10分

②若
，由
得
.……………12分

(18)解析：（I）设常喝碳酸饮料肥胖的学生有
人，
.……………1分

常喝

不常喝

合计



肥胖

6

2

8



 不胖

4

18

22



合计

10

20

30



 ………3分

（II）由已知数据可求得：
………6分

因此有
的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关．……………8分

（III）设常喝碳酸饮料的肥胖者男生为A、B、C、D，女生为E、F，则任取两人有 AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15种.……………9分

其中一男一女有AE，AF，BE，BF，CE，CF， DE，DF.共8种.…………10分

故抽出一男一女的概率是
.…………12分

解：(I)证明：如图，取AB的中点F，连接DF，EF. 在直角梯形ABCD中，CD∥AB，

且AB＝4，CD＝2， ∴BF∥CD且BF=CD. ∴四边形BCDF为平行四边形．

∴DF∥BC. ……………………2分

在△PAB中，PE＝EA，AF＝FB，

∴EF∥PB.…………3分

又因为DF∩EF＝F，PB∩BC＝B，

∴平面DEF∥平面PBC.……………4分

因为DE?平面DEF，所以DE∥平面PBC.

……………6分

(II)取AD的中点O，连接PO.在△PAD中，PA＝PD＝AD＝2，

∴PO⊥AD，PO＝.…………………7分

又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，

∴PO⊥平面ABCD.…………………8分

在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB＝4，AD＝2，AB⊥AD，……9分

∴S△ABC＝×AB×AD＝×4×2＝4.…………10分

故三棱锥
的体积
＝×S△ABC×PO＝×4×＝.……12分

(20)（Ⅰ）直线
的方程为
，∵
，∴椭圆的焦点为直线
与
轴的交点

∴椭圆的焦点为
,∴
，………………2分

又∵
,∴
，∴
,…………3分

∴椭圆方程为
…………………4分

(Ⅱ)直线
的斜率显然存在，设其为
，直线
方程为
，……5分

设
，由
，得
，

显然

，……………8分

…………10分

令
则
,
,

，即
时，
的最大值为
.…………12分

(21)解析：（I）
时，
，
，…………1分

∴
，
， ……………………2分

故
点
处的切线方程是
． …………3分

（II）由
，得
．………4分

当
时，
，得
，由
,

得
． 显然，
，

当
时，
，函数
单调递增;当
时，
，函数
单调递减，

∴
的单调递增区间是
，单调递减区间是
．………8分

（III）由题意知函数
在
处取得最大值．由（II）知，
是
的唯一的极大值点，

故
，整理得
.……………9分

于是

令
，则
．令
，得
，

当
时，
，
单调递增；

当
时，
，
单调递减．……………10分

因此对任意
，
≤
，又
，

故
，即