河南省商丘市2015届高三第一次模拟考试数学（理）试题

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合A＝{x｜0＜x＜2}，B＝{x｜｜x｜＞1}，则A∩B＝

A．（0，1） B．（1，2）

C．（－∞，－1）∪（0，＋∞） D．（－∞，－1）∪（1，＋∞）

2．若复数z满足（1＋i）z＝2－z，则｜z＋i｜＝

A．
B．
C．2 D．

3．已知命题p：
∈R，x－2＞lgx，命题q：
∈R，
＞0，则

A．命题p∨q是假命题 B．命题p∧q是真命题

C．命题p∨（
）是假命题 D．命题p∧（
）是真命题

4．已知向量a，b满足｜a｜＝1，a⊥b，则a－2b在a方向上的投影为

A．1 B．
C．－1 D．

5．已知锐角α的终边上一点P（sin40°，1＋cos40°），则α

等于

A．10° B．20°

C．70° D．80°

6．若某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的B等于

A．63 B．31

C．127 D．15

7．已知抛物线
＝4x与双曲线
（a＞0，b＞0）有

相同的焦点F，点A，B是两曲线的交点，若（
＋
）·
＝0，则双曲线的

离心率为

A．
＋2 B．
＋1 C．
＋1 D．
＋1

8．已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为

A．4π B．8π

C．12π D．16π

9．设变量x，y满足约束条件：
则z＝｜x－3y｜

的最大值为

A．10 B．8

C．6 D．4

10．等比数列{
}的前n项和为
，
＝4（a1＋a3＋…＋
），a1a2a3＝27，则a6＝

A．27 B．8l C．243 D．729

11．给出下列四个结论：

①若a，b∈[0，1]，则不等式
≤1成立的概率为
；

②由曲线y＝
与y＝
所围成的封闭图形的面积为0．5；

③已知随机变量ξ服从正态分布N（3，
），若P（ξ≤5）＝m，则P（ξ≤1）＝

1－m；

④
的展开式中常数项为
．

其中正确结论的个数为

A．1 B．2 C．3 D．4

12．已知函数f（x）满足f（x）＝f（
），当x∈[1，3]时，f（x）＝lnx，若在区间[
，3]内，曲线g（x）＝f（x）－ax与x轴有三个不同的交点，则实数a的取值范围是

A．（0，
） B．（0，
） C．[
，
） D．[
，
）

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题－第21题为必考题．每个试题考生都必须做答。第22题－第24题为选考题,考生根据要求做答。

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有_______种．

14．若圆C：
＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点（a，b）向圆所作的切线长的最小值是_____________。

15．已知函数y＝f（x－1）＋
是定义在R上的奇函数，且f（0）＝－1，若g（x）＝1－

f（x＋1），则g（－3）＝______________

16．已知数列{
}通项公式为
＝－n＋p，数列{
}通项公式为
＝
，设
＝
若在数列{
}中，
＞
（n∈N﹡,n≠8），则实数p的取值范围是_______.

三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA＋sinB＝2sinC，a＝2b．

（Ⅰ）证明：△ABC是钝角三角形；

（Ⅱ）若
，求c的值．

18．（本小题满分12分）

某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下：

日销售量

1

1．5

2



天数

10

25

15



频率

0．2

a

b



 若以上表中频率作为概率，且每天的销售量相互独立．

（Ⅰ）求5天中该种商品恰好有两天的销售量为1．5吨的概率；

（Ⅱ）已知每吨该商品的销售利润为2千元，X表示该种商品某两天销售利润的和（单位：千元），求X的分布列和数学期望．

19．（本小题满分12分）

如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB⊥侧面

BB1C1C，AB＝BC＝1，BB1＝2，∠BCC1＝60°。

（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC；

（Ⅱ）设
＝λ
（0≤A≤1），且平面AB1E与BB1E

所成的锐二面角的大小为30°，试求λ的值．

20．（本小题满分12分）

已知直线l的方程为y＝
x－2
，又直线l过椭圆C：
（a＞b＞0）的

右焦点，且椭圆的离心率为
．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点D（0，1）的直线与椭圆C交于点A，B，求△AOB的面积的最大值．

21．（本小题满分12分）

已知函数f（x）＝x＋alnx在x＝1处的切线l与直线x＋2y＝0垂直，函数g（x）＝f（x）

＋
－bx．

（Ⅰ）求实数a的值；

（Ⅱ）设x1，x2 （x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若b≥
，求g（x1）－g（x2）的最小值．

请考生在第22、23、24三道题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，四边形ACED是圆内接四边形，AD、CE的延

长线交于点B，且AD＝DE，AB＝2AC．

（Ⅰ）求证：BE＝2AD；

（Ⅱ）当AC＝2，BC＝4时，求AD的长．

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知直线l经过点P（
，1），倾斜角α＝
，圆C的极坐标方程为
＝
cos（θ

－
）．

（Ⅰ）写出直线l的参数方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）设l与圆C相交于A，B两点，求点P到A，B两点的距离之积．

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知a＋b＝1，对
，b∈（0，＋∞），
＋
≥｜2x－1｜－｜x＋1｜恒成立，

（Ⅰ）求
＋
的最小值；

（Ⅱ）求x的取值范围。

商丘市2014—2015学年度第一次模拟考试

高三数学（理科）参考答案

一、选择题（每小题5分，共60分）

（1）B （2）B （3）D （4）A （5）C （6）A

（7）D （8）A （9）B （10）C （11）C （12）C

二、填空题（每小题5分，共20分）

（13）10； （14）4； (15) 2； （16）
.

三、解答题

（17）解：（Ⅰ）因为
，由正弦定理得
，

又
，可得
，……………………………3分

所以
，

所以
为钝角，故
为钝角三角形．……………6分

（Ⅱ）由
，得
，……………………9分

所以
，解得
．…12分

（18）解：（Ⅰ）
，
，………………………2分

依题意，随机选取一天，销售量为
吨的概率
，

设5天中该种商品有
天的销售量为1.5吨，则
，

．…………5分

（Ⅱ）
的可能取值为
，………………7分

则：
，
，

,
,

，

所以
的分布列为：

4

5

6

7

8





0.04

0.2

0.37

0.3

0.09



………10分

的数学期望
．……12分

（19）解：（Ⅰ）因为
平面
,
平面
， 所以
，…1分

在
中，
，

由余弦定理得：

， 所以
，…3分

故
, 所以
,…………5分

又
，∴
平面
．……………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
两两垂直.以
为原点，
所在直线为
轴建立空间直角坐标系.

则
，
.………7分

所以
, 所以
， ∴
,

则
，
. …………8分

设平面
的一个法向量为
，

则
， 得
，

令
，则
，∴
,………9分

. ∵
平面
，
是平面的一个法向量，………10分

∴
.

两边平方并化简得
，所以
或
（舍去）．

∴
……………12分

（20）解：（Ⅰ）∵
，∴椭圆的焦点为直线
与
轴的交点，

∵直线
与
轴的交点为
，∴椭圆的焦点为
，∴
，…1分

又∵
，∴
，∴
…………3分

∴椭圆方程为
．……………4分

(Ⅱ) 直线
的斜率显然存在，设直线
方程为

设
，由
，得
，

显然
，
…………6分

……8分

…10分

令
则
,
,

，即
时，
的最大值为
.…………12分

（21）解：（Ⅰ）∵
，∴
， …………2分

又
与直线
垂直，∴
，∴
．……4分

(Ⅱ)
，

令
，得
，

,……………6分

,…8分

， 所以设

，所以
在
单调递减， 10分
，

，

∴
，

故所求的最小值是
．…………12分

（22）解：(Ⅰ)证明： 因为四边形
为圆内接四边形,所以
…1分

又
所以
∽
，则
.………3分

而
，所以
.…………………4分

又
，从而
………………5分

(Ⅱ)由条件得
.………………6分

设
，根据割线定理得
，

即

所以
，解得
,即
.…………10分

（23）解：（Ⅰ）直线
的参数方程为
，即
（
为参数）

……2分

由
，得
，

所以
,………4分

得
，即
．…………5分

（Ⅱ）把
代入
，得
，…8分

∴
．………10分

（24）解：（Ⅰ）∵
且
，

∴
，………3分

当且仅当
，即
，
时，