兰州市2015届高三3月诊断考试

数学（理）试题

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题纸上。

2．本试卷满分150分，考试用时120分钟。答题全部在答题纸上完成，试卷上答题无效。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合
，
，则

A．
B．
C．
D．

2．复数
（
是
虚数单位）的虚部是

A．
B．
C．
D．

3．设
，
，且
，
夹角
，则

A．
B．
C．
D．

4．从数字
、
、
、
、
中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率为

A．
B．
C．
D．

5．已知等差数列
的前
项和为
，若
，则

A．
B．
C．
D．

6．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则

正视图中的
的值是

A．2 B．

C．
D．3

7．如图，程序输出的结果
, 则判断框中应填

A．

B．

C．

D．

8．设
，
是两条不同的直线，
，
是两个不同的平面，
，
，则
∥
是
的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

9．已知不等式组
所表示的平面区域为
，若直线
与平面区域
有公共点，则
的取值范围为是

A．
B．

C．
D．

10．在直角坐标系
中，设
是曲线
：
上任意一点，
是曲线
在点
处的切线，且
交坐标轴于
,
两点，则以下结论正确的是

A．
的面积为定值
B．
的面积有最小值为

C．
的面积有最大值为
D．
的面积的取值范围是

11．已知抛物线
：
的焦点为
，以
为圆心的圆
交
于
两点，交
的准线于
两点，若四边形
是矩形，则圆
的标准方程为

A．
B．

C．
D．

12．己知定义在
上的可导函数
的导函数为
，满足
，且

为偶函数，
，则不等式
的解集为

A．
B．

C．

D．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22～24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知
，
，则
．

14．椭圆
的中心在原点，焦点在
轴上，若椭圆
的离心率等于
，且它的一个顶点恰好是抛物线
的焦点，则椭圆
的标准方程为 ．

15．已知函数
有两个极值点，则实数
的取值范围是 ．

16．数列
的首项为
，数列
为等比数列且
，若
，则
．

三、解答题：解答应写出文
字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

在
中，角
、
、
所对的边分别为
、
、
，已知
．

（Ⅰ）求
的大小；

（Ⅱ）若
，求
的取值范围．

18．（本小题满分12分）

如图，在四棱柱
中，底面
是等腰梯形，
∥
，
,
,顶点
在底面
内

的射影恰为点
．

(Ⅰ)求证：
；

(Ⅱ)若直线
与直线
所成的角为
,

求平面
与平面
所成角（锐角）的

余弦函数值．

19．（本小题满分12分）

为迎接2015年在兰州举行的“中国兰州国际马拉松赛”，某单位在推介晚会中进行嘉宾现场抽奖活动．抽奖盒中装有大小相同的
个小球，分别印有“兰州马拉松”和“绿色金城行”两种标志，摇匀后，规定参加者每次从盒中同时抽取两个小球（登记后放回并摇匀），若抽到的两个小球都印有“兰州马拉松”即可中奖，并停止抽奖,否则继续，但每位嘉宾最多抽取
次．已知从盒中抽取两个小球不都是“绿色金城行”标志的概率为
．

（Ⅰ）求盒中印有“兰州马拉松”标志的小球个数；

（Ⅱ）用
表示某位嘉宾抽奖的次数，求
的分布列和期望．

20．（本小题满分12分）

已知双曲线
：
的一条渐近线为
，右焦点
到直线
的距离为
．

（Ⅰ）求双曲线
的方程；

（Ⅱ）斜率为
且在
轴上的截距大于
的直线
与曲线
相交于
、
两点，已知
，若
，证明：过
、
、
三点的圆与
轴相切．

21．（本小题满分12分）

设函数
．

（Ⅰ）若函数
是定义域上的单调函数,求实数
的取值范围；

（Ⅱ）若
,试比较当
时，
与
的大小；

（Ⅲ）证明：对任意的正整数
，不等式
成立．

请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，如果多答按所答第一题评分。

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何
证明选讲

如图,已知
切⊙
于点
,割线
交⊙
于
、
两点,
的平分线和
、
分别交于点
、
．求证:

（Ⅰ）
；

（Ⅱ）
．

23．（本小题满分10分）选修4－4：极坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
，（
为参数），以原点
为极点，
轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
．

(Ⅰ) 求曲线
的普通方程与曲线
的直角坐标方程；

(Ⅱ) 设
为曲线
上的动点，求点
到
上点的距离的最小值
．



一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

D

C

D

B

D

D

B

A

C

A

A

B



7. 解析 ：由题意，S表示从12开始的逐渐减小的若干个整数的乘积，由于12×11=132，故此循环体需要执行两次所以每次执行后i的值依次为11，10,由于i的值为10时，就应该退出循环，再考察四个选项，B符合题意

11. 解析 ：依题意，抛物线
：
的焦点为
,∴圆
的圆心坐标为
∵四边形
是矩形，且
为直径，
为直径，
为圆
的圆心

∴点
为该矩形的两条对角线的交点，

∴点
到直线
的距离与点
到
的距离相等，又点
到直线
的距离为
∴直线
的方程为：
∴

∴圆
的半径

∴圆
的方程为：

12. 解析 ：∵
为偶函数，∴
的图象关于
对称,∴
的图象关于
对称∴

设
（
）,则

又∵
，∴
（
），∴函数
在定义域上单调递减

∵
,而

∴
∴
故选B．

二、填空题

13.
14.
15.
16.

15．解析 ：函数
，则
，

令
得
，因为函数
有两个极值点，所以
有两个零点，等价于函数
与
的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象，过点（0，－1）作
的切线，设切点为（x0，y0），则切线的斜率
，切线方程为
. 切点在切线上，则
，又切点在曲线
上，则
，即切点为（1，0）.切线方程为
. 再由直线
与曲线