2015年沈阳市大东区高三质量监测

数学试卷（理科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22-24题为选考题，其它为必考题。共150分，考试时间为120分钟。考生做答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知:全集为U=R,集合
,则

=

A.
B.
C.
D.

2.在复平面内,复数
(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3.已知
为异面直线,
平面
,
平面
.直线
满足
,则

A．
,且
B．
,且

C．
与
相交,且交线垂直于
D．
与
相交,且交线平行于

4.设数列
，
=1，前
项和为
，若

，则数列
的第5项是

A . 81 B .
C. 54 D. 162

5.分别在区间[0,1]和[0,2]内任取一个实数，依次记为m和n，则m2

6.函数
的大致图像是

7.阅读如图所示的程序框图,若输入的
,则该算法的功能是

A．计算数列
的前10项和 B．计算数列
的前9项和

C．计算数列
的前10项和 D．计算数列
的前9项和

8.设
中，角
所对的边分别为
，则“
”的一个充分非必要条件是

A.
B.

C.
D.

9.如图，
、
分别为棱长为1的正方体的棱
、
的中点，点
、
分别为面对角线
和棱
上的动点（包括端点）,则四面体EFGH的体积

A．既存在最大值，也存在最小值 B.为定值；

C. 只存在最小值； D只存在最大值。

10.直线
过抛物线
＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线方程是

A．
＝12x B．
＝8x C．
=6x D．
=4x

11.给出下列四个命题：

①“
”的否定是“
”；

②对于任意实数x,有
且
时,

③函数
是偶函数；④已知
，则
满足关于x的方程
的充要条件是
,

其中真命题的个数为

A.1 B.2 C.3 D.4

12.设函数
(
,
为自然对数的底数).若曲线
上存在
使得
,则
的取值范围是( )

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分，第13-21为必考题，每个试题考生都必须做答，第22-24题为选考题，考生根据要求做答.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸中横线上.

13.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为_______

14.六个字母排成一排,且
均在
的同侧,则不同的排法共有________种(用数字作答)

15.已知正方形ABCD的边长为
，P是正方形ABCD的外接圆上的动点，则
的最大值为 _______________.

16.已知双曲线
，右顶点是A，若双曲线C右支上存在两点B、C，使ΔABC为正三角形，则双曲线C的离心率e的取值范围是

________________

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分12分)

已知函数

(Ⅰ)求
的单调递增区间；

(Ⅱ)求函数
在区间
上的最大值.

18. (本小题满分12分)

如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°，E为BC中点

(Ⅰ)证明：A1C∥平面AB1E

(Ⅱ)证明:AB⊥A1C;

(Ⅲ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值.

19.（本题满分12分）

某学生社团在对本校学生学习方法开展问卷调查的过程中发现，在回收上来的1000份有效问卷中，同学们背英语单词的时间安排共有两种：白天背和晚上临睡前背。为研究背单词时间安排对记忆效果的影响，该社团以5%的比例对这1000名学生按时间安排类型进行分层抽样，并完成一项实验，实验方法是，使两组学生记忆40个无意义音节（如XIQ、GEH），均要求在刚能全部记清时就停止识记，并在8小时后进行记忆测验。不同的是，甲组同学识记结束后一直不睡觉，8小时后测验；乙组同学识记停止后立刻睡觉，8小时后叫醒测验。

两组同学识记停止8小时后的准确回忆（保持）情况如图（区间含左端点而不含右端点）

(Ⅰ)估计1000名被调查的学生中识记停止后8小时40个音节的保持率大于等于60%的人数；

(Ⅱ)从乙组准确回忆个数在[12,24)范围内的学生中随机选取3人，记能准确回忆20个以上（含20）的人数为随机变量X，求X分布列及数学期望；

(Ⅲ)从本次实验的结果来看，上述两种时间安排方法中哪种方法背英语单词记忆效果更好? 计算并说明理由。

20.（本小题满分12分）

如图，已知椭圆
的离心率为
，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点
为顶点的三角形的周长为
.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设
为该双曲线上异于顶点的任一点，直线
和
与椭圆的交点分别为
和
.

（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；

（Ⅱ）设直线
、
的斜率分别为
、
，证明
；

（Ⅲ）是否存在常数
，使得
恒成立？若存在，求
的值；若不存在，请说明理由.

21.(本小题满分12分)

已知函数
其中

（Ⅰ）若
在
上恒成立，求实数
的取值范围；

（Ⅱ）当
时，若
对
恒成立，求
的最小值.

（请考生从22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分）

22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D。

（Ⅰ）求证：CE2 = CD · CB；

（Ⅱ）若AB = BC = 2，求CE和CD的长。

23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知：动点
都在曲线
（
为参数）上，对应参数分别为
与
（
），
为
的中点。

（Ⅰ）求
的轨迹的参数方程；

（Ⅱ）将
到坐标原点的距离
表示为
的函数，并判断
的轨迹是否过坐标原点。

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

设函数
。

（Ⅰ）求不等式
的解集；

（Ⅱ）若存在x使不等式
成立，求实数a的取值范围。

2015年大东区高三质量监测数学参考答案和评分参考

（理科）

选择题：每小题5分，共60分

1.A 2. D 3.D 4.C 5.A 6.B 7.A 8.B 9. A 10. B 11. B 12.A

二、填空题：每小题5分，共20分

13.
14.480 15.
16.

三、解答题

17.(本题满分12分)

（Ⅰ）

，……… 4分

由

得：增区间为
…………………7分

（Ⅱ）

所以，当
时，………………………… 11分

的最大值为1. ………………………………………… 12分

18. (本题满分12分)

（Ⅰ）连结A1B，使A1B∩AB1=O，连结EO,

因为ABB1A1为平行四边形，所以O为A1B中点

又因为E为BC中点, 所以EO∥A1C

又因为EO
平面AB1E

A1C
平面AB1E

所以，A1C∥平面AB1E……………………………………………………… 4分

(Ⅱ)取AB中点F,连结CF, A1F ,

∵AB=
,
=
,∴
是正三角形,

∴A1F⊥AB, ∵CA=CB, ∴CF⊥AB,

∵
,∴AB⊥面CFA1,

∴AB⊥
; ……………………………………………………… 8分

（Ⅲ）由(Ⅱ)知FC⊥AB, FA1⊥AB,

又∵面ABC⊥面
,面ABC∩面
=AB,∴FC⊥面
,∴FC⊥FA1,

∴FA,FC, FA1两两相互垂直,以F为坐标原点,
的方向为
轴正方向,|
|为单位长度,建立如图所示空间直角坐标系
,

由题设知A(1,0,0),
(0,
,0),C(0,0,
),B(-1,0,0),则

=(1,0,
),
=
=(-1,
,0) ,
=(0,-
,
),

设
=
是平面
的法向量,

则
,即
,可取
=(
,1,-1),

∴
=

,………………………………… 10分

∴直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值为
………………………………… 12分

19. (本题满分12分)

解：（Ⅰ）∵
，

由甲图知，甲组有
（人），∴乙组有20人．

又∵
，

∴识记停止8小时后40个音节的保持率大于等于60%的在甲组中有1人

乙组有
（人）

∴

即估计1000名被调查的学生中识记停止8小时后40个音节的保持率大于等于60%的人数为180人．………………………………………………………………………………… 4分

（Ⅱ）由乙图知，乙组在
之间有
（人）

在
之间有
（人）

∴
的可能取值为0,1,2,3……………………………………………………………6分

，

，

，

∴
的分布列为

0

1

2

3















………8分

数学期望
．………………………10分

（Ⅲ）参考答案：

甲组学生准确回忆音节数共有：

个

故甲组学生的平均保持率为

乙组学生准确回忆音节数共有：

个

故乙组学生平均保持率为
，

所以临睡前背单词记忆效果更好. ………………………………………………12分

（只要叙述合理都给分）

20. (本题满分12分)

（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为

，得
，又

，所以可解得
，
，所以
，

所以椭圆的标准方程为
；………………………………………………2分

所以椭圆的焦点坐标为（
，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为

。………………………………………………4分

（Ⅱ）设点P(x0,y0)，则
,
，所以
，又点P(x0,y0)在双曲线上，所以有
，即
，所以
………6分

（Ⅲ）假设存在常数
，使得
恒成立，则由（Ⅱ）知
，所以设直线AB的方程为y=k(x+2)，则直线CD的方程为
，由方程组
，消y得：
，设A(x1,y1), B(x2,y2),

则由韦达定理得:

所以
，

同理可得
，

又因为
，

所以有
，

存在常数
，使得
恒成立………………12分

21.(本题满分12分)

（Ⅰ）

即

设
则

3分

当
时
,函数
单调递减;

当
时
,函数
单调递增;

最小值

实数
的取值范围是
;
6分

（Ⅱ）当
时，构造函数

，由题意有G(x)≤0对x∈[0，+∞)恒成立，因为
.

当a≤0时，
，所以G(x)在[0，+∞)上单调递增，则G(x)＞G(0)=0在(0，+∞)上成立，与题意矛盾.

当a＞0时，令
，由于

①当a≥1时，
上单调递减，所以
，所以G(x)在[0，＋∞)上单调递减，所以G(x)≤G(0)=0在[0，＋∞)上成立，符合题意.

②当0＜a＜1时，
，所以
上单调递增，在
上单调递减，因为
，所以
成立，即
上成立，所以
上单调递增，则G(x)＞G(0)=0在
上成立，与题意矛盾.

综上知a的最小值为1.




12分

其他合理方法即可.

22.（本题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

(Ⅰ)证明：连接BE.

∵BC为⊙O的切线 ∴∠ABC＝90°，
……2分

∵∠AEO＝∠CED ∴∠CED＝∠CBE, ……4分

∵∠C＝∠C∴△CED∽△CBE

∴
∴CE
＝CD?CB……6分

(Ⅱ)∵OB＝1,BC＝2 ∴OC＝

∴CE＝OC－OE＝
－1 ……8分

由(Ⅰ)CE
＝CD?CB 得(
－1)
＝2CD

∴CD＝3－
……10分

23.（本题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

(Ⅰ)依题意有
，
,因此

M的轨迹的参数方程为
， ……6分

(Ⅱ)M点到坐标原点的距离

当
时，d=0,故M的轨迹过坐标原点 ……10分

24．（本题满分10分）选修4－5：不等式选讲

解：（1）

当
时，
解得
不存在

当
时，
解得

当
时，
解得

综上不等式的解集为
…………………………………………………………5分

（2）

当
，
，

当
时，
，

综上，
……10分

另解：

画出
的图象，如下所示

若
有解，则
……10分

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