重庆49中学2015年3月高三模拟考试数学理试题

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1. 已知全集
，集合
，
，则
为

A．
B．
C．
D．

2. 复数
所对应的点位于复平面内

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3. 已知{an}是等比数列，则下列数列中也一定是等比数列的是

A．
（其中C为常数） B．
C．
（其中
为常数数列） D．

4. 某程序框图如右图所示，该程序运行输出的
值是

A.4 B.5 C.6 D.7

5 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为

A．8－2π B．8－π C．8－ D．8－

6．某单位为了了解某办公楼用电量y(度)与气温x(oC)之间的关系，随机统计了四个工作日的用电量与当天平均气温，并制作了对照表：

气温(oC)

18

13

10

－1



用电量(度)

24

34

38

64



 由表中数据得到线性回归方程
，当气温为－4 oC时，预测用电量约为

A．68度 B．72度 C．78度 D．48度

7．已知平面直角坐标系xoy上的区域D由不等式
给定，若
为D上任一点，

点A的坐标为
，则
的最大值为

A．3 B．4 C．
D．

8.若
的最小值是

A．
B.
C.
D.

9．点
为双曲线
的右焦点，点P为双曲线左支上一点，线段PF与圆
相切于点Q，且
，则双曲线的离心率等于

A．
B．
C．
D．2

10．在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1，0)，B(0，)，C(3，0)，动点D满足||＝1，则|＋＋|的取值范围是(　　)

A．[4，6] B [－1，＋1]． C．[－1，＋1] D．[2，2]

二、填空题（本大题共5小题，每小题25分）

11. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c,已知
则C=__
____.

将函数
图像上每一点的横坐标缩短为原来的

一半，纵坐标不变，再向右平移
的单位长度得到
的图像，则
____
__.

13. 某单位安排5位员工在5月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若5位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在3月1日，则不同的安排方案共有 48

★考生注意：14、15、16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分★

14.(选修4-1：平面几何选讲)如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点，若QC＝1，CD＝3，则PB＝___4_____．

15.(选修4-4：极坐标与参数方程)．在直角坐标系
中，以原点
为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若点
为直线
上一点，点
为曲线
为参数）上一点，则
的最小值为
.

16. (选修4-5：不等式选讲) 已知关于x的不等式|x＋1|＋|x－2|≤对任意正实数a、b恒成立，则实数x的取值范围是 -1.5《x《 2.5 .

三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）

17. “你低碳了吗？”这是某市为倡导建设资源节约型社会而发布的公益广告里的一句话.活动组织者为了解这则广告的宣传效果，随机抽取了
名年龄段在
，
，
，
的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示.

（1）从不小于
岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取
人，求
年龄段抽取的人数；

（2）从按（1）中方式得到的
人中再抽取3人作为本次活动的获奖者，记
为年龄在

年龄段的人数，求
的分布列及数学期望．

.解：（1）
，
，所以
，即抽取的
人中
年龄段抽取的人数为
．

（2）
的所有可能取值为
，
，
．

；
；
．

所以
的分布列为




















的数学期望为
．

18. 已知函数
在一个周期内的图象如图所示，其中点A为图象上的最高点，点B，C为图

象与x轴的两个相邻交点，且△ABC是边长为4的正三角形．

（1）求
与
的值；

（2）若
，且
，求
的值．

解：由已知可得
…

BC=
=4，

由图象可知，正三角形
ABC的高即为函数
的最大值
，得
…

（2）解：由（Ⅰ）知
即
∵
，

∴
∴
…

…

19如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D为AC中点，
于
，延长AE交BC于F，将
ABD沿BD折起，使平面ABD
平面BCD，如图2所示.

（1）求证：AE⊥平面BCD；

（2）求二面角A–DC –B的余弦值．

（3）在线段
上是否存在点
使得
平面
？若存在,请指明点
的位置；若不存在，请说明理由.

解．（1因为平面
平面
，交线为
，又在
中，
于
，
平面

所以
平面
.

（2由（Ⅰ）结论
平面
可得
.

由题意可知
，又

.

如图，以
为坐标原点，分别以
所在直线为
轴，
轴，
轴，建立空间直角坐标系

--------------------------4分

不妨设
，则
.

由图1条件计算得，
，
，

则
-------5分

.

由
平面
可知平面DCB的法向量为
. --

设平面
的法向量为
，则
即

令
，则
，所以
. 平面DCB的法向量为

所以
， 所以二面角
的余弦值为

（3设
，其中
.由于
，所以
，其中

所以
由
，即

解得
. 所以在线段
上存在点
使
，且
.--

20.已知函数
.

（1）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；

（2）求
的单调区间；

（3）若
在区间
上恒成立，求实数
的取值范围.

解：（1）因为
，
,

所以
,
，
,所以切线方程为
.

(2）
, 由
得
, 当
时，在
或
时
，在
时
,所以
的单调增区间是
和
，单调减区间是
；

当
时，在
时
，所以
的单调增区间是
；当
时，在
或
时
，在
时
.所以
的单调增区间是
和
，单调减区间是
. -

(3）由（II）可知
在区间
上只可能有极小值点，所以
在区间
上的最大值在区间的端点处取到

即有
且
,解得
.

21. 已知椭圆
的中心在原点
，焦点在
轴上，离心率为
，右焦点到右顶点的距离为
．

（1）求椭圆
的标准方程；

（2）是否存在与椭圆
交于
两点的直线
：
，使得

成立？若存在，求实数
的取值范围，若不存在，请说明理由.

解（1设椭圆
的方程为

，半焦距为
.依题意
，由右焦点到右顶点的距离为
，得
． 解得
，
．所以
．所以椭圆
的标准方程是
．

（2解：存在直线
，使得
成立.理由如下：由
得
．
，化简得
．

设
，则
，
．

若
成立，即
，等价于
．所以
．

，
，

,化简得，
．

将
代入
中，
，解得，
．

又由
，
，从而
，
或
．

所以实数
的取值范围是
．

22. 已知数列
各项均不相等，将数列从小到大重新排序后相应的项数构成的新数列称为数列
的排序数列，例如：数列
满足
，则排序数列为2，3，1.

（1）写出数列2，4，3，1的排序数列；

（2）求证：数列
的排序数列为等差数列的充要条件是数列
为单调数列；

（3）若数列
的排序数列仍为
，那么是否一定存在一项
，证明你的结论.

解（1）排序数列为4,1,3,2.

（2证明：充分性： 当数列
单调增时，∵
…
,

∴排序数列为1,2,3，…，n.

∴排序数列为等差数列.-

当数列
单调减时，∵
…
,

∴排序数列为n,n-1,n-2，…，1 .

∴排序数列为等差数列.

综上，数列
为单调数列时，排序数列为等差数列.

必要性：

∵排序数列为等差数列

∴排序数列为1,2,3，…，n或n,n-1,n-2，…，1.-

∴
…
或
…

∴数列
为单调数列.-

（3）∵数列
的排序数列仍为

∴数列
是1,2,3，…，n的某一个排序，

假设不存在一项
，即
，

则在各项从小到大排列后
排在第
位-

∴排序数列
中
，∴n为偶数12分.

∴当n为奇数时，一定存在一项
,

当n为偶数时，不一定存在一项
.--