兼善中学高2015级高三起步考试

数学试题

（满分150分。时间120分钟）

选择题：本大题10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若复数
满足
则
对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．已知集合
，集合
，则
（ ）

A．（-2，-1） B．[-2，-1] C．[-2，1） D．[-2，-1）

3. 设函数
,则
（　）

A．
B．
C．
D．

曲线
在点
处切线的斜率为

A,1 B,2 C,e D,

5．阅读右面的程序框图，则输出的
（ ）

A．
B．
　 C．
D．

6．不等式
的解集是( )

A．[-5，7] B．[-4，6]

C．
D．

7. 函数
存在与直线
平行的切线，则实数
的取值范围是 ( )

A.
B.
C.
D.

8．过抛物线
焦点的直线交抛物线于A,B两点，若
，则直线AB的倾斜角为

A．
B．
C．
D．

9．在各项均为正数的等比数列
中，若
，数列
的前
项积为
，若
，则m的值为

A．4 B．5 C．6 D．7

10. 某学校4位同学参加数学知识竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得30分，答错得－30分；选乙题答对得10分，答错得－10分.若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是

A．24 B．36 C．44 D．40

填空题：本大题6个小题，考生作答5个小题，每小题5分，共25分．请把答案填写在答题卡相应的横线上．

11.已知
,
,
,则
_________.

12关于
的不等式
的解集为
，则不等式错误！未找到引用源。
的解集为_________

13. 观察请根据右边所列等式：①
②

③

……，写出第
个等式为

考生注意： 14、15、16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前面两题给分．

14. 如右图所示，已知C为圆O的直径AB延长线上的一点， 割线CE交圆O于D,E两点，连接AD,AE．若圆O的半径为3，BC=4，CD=5，则
的大小为 ．

15
. 在直角坐标系X0Y中，以原点O为极点，X轴的正
半轴为极轴建立极坐标系. 极坐标方程为
的直线与
曲线
（
为参数）相交于A,B两点, 则

16. 若不等式
对任意实数x恒成立，则实数a的取值

范围是

三、解答题：本大题6个小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应的位置上．

17.(满分13分)等比数列
的各项均为正数，且
。

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
，求数列
的前
项和。

18.(满分13分)如图所示，张先生开车从甲地到乙地有
两条路线可走．

路线上有
三个路口，各路口遇到红灯的概率均

为
；
路线上有
两个路口，各路口遇到红灯的概率

依次为
．

（Ⅰ）若走
路线，求最多遇到
次红灯的概率；?

（Ⅱ）若走
路线，求遇到红灯次数
的数学期望；

（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．

19.(满分13分)已知
.

（Ⅰ）求：过点
且与曲线
相切的直线方程；

（Ⅱ）对一切
恒成立，求实数
的取值范围；

20.(满分12分)把函
数
的图像向右平移 a(
)个单

位，得到的函数
的图像关于直线
对称.

（1）求a的最小值；

(2)当a取最小值，求函数
在区间
上的值域

21．(满分12分)如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为
和
，且
与
共线．

（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；

（Ⅱ）若直线
与椭圆E有两个不同的交点P和Q，且原点O总在以PQ为直径的

圆的内部，求实 数m的取值范围．

22. (满分12分)已知
，函数
．

（Ⅰ）当
时，讨论函数
的单调性；

（Ⅱ）若
和
是
的两个极值点，求证：

．

兼善中学高2015级高三（上）第一次月考

数学试题答案

一、选择题：

1～5：BCDAA 6～10: DDBBC

由题意知这4位同学不同得分情况的种数分五类（1）两人得30分，余下两人得-30分，有C42=6种情况。（2）一人得30分，余下三人得-10分，有4种情况。（
3）一人得-30分，余下三人得10分，有4种情况；（4）一人
得30分，一人得-30分，一人得10分，一人得-10分，有A43=24种情况。（5）两人得10分，余下两人得-10分，有C42=6种情况．共有6+4+4+24+6=44种情况

二、填空题：

11.
。 12. （1,2）， 13．
；

14．
； 15．
； 16．
．

三、解答题：

17.解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由
得
所以
。

由条件可知
,故
。……………………………………………………3分

由
得
，所以
。数列{an}的通项式为an=
…6分

（Ⅱ?）
…8分

故
……………………………10分

所以数列
的前n项和为
…………………………………………13分

18．解:(Ⅰ)设走
路线最多遇到
次红灯为
事件,则

．………………………………………………3分

(Ⅱ)依题意，
的可能取值为：
．…………………………………………………4分`

，
，

．…………………………………………………………………7分

所以随机变量
的分布列为：





















所以
． ……………………………………………9分

(Ⅲ)设选择
路线遇到红灯次数为
，则随机变量
服从二项分布：
．10分

所以
．……………………………………………………………………11分

因为
，所以选择
路线上班最
好．…………………………………………………13分

19.Ⅰ）
…………………………………………………………………2分

设切点为
，切线的斜率为
……………………………………………………3分

∵点
在
上，∴

∴
， 解得
…………………………………………………6分

∴切线的斜率为
，∴切线方程为
…………………………………………………7分

（Ⅱ）
，则
， ………………………………8分

设
，则
， ……………………………9分

①
单调递减， ②
单调递增，

∴
，……………………………………………………………………12分

∴对一切
恒成立的
的取值范围是[来源
.:学_科…13分_网]

20.

……………………………………………………………………3分

∴
，它关于直线
对称，

∴
∴
∵

…………6分

（2）由（1）知
……………………………9分

…11分

即
的值域为
……………………………………………………………12分

21.解：（Ⅰ）设椭圆E的标准方程为
，由已知得

∴
，∵
与
共线， ∴
，又

∴
， ∴椭圆E的标准方程为
………………………5分

（Ⅱ）设
,把直线方程
代入椭圆方程
，

消去y，得，
,………………………6分

∴
,

（*）………………………7分

∵原点O总在以PQ为直径的圆内，∴
，即
…………8分

又

由
得
，依题意
且满足（*）

故实数m的取值范围是
…………………………………………12分

22.解：(Ⅰ)∵
，………………………………1分

，考虑分子

当
，即
时，

在
上，
恒成立，此时
在
上单调递增；………………3分

当
，即
时，方程
有两个不相等的实数根．

，
，显然
，

易知，当
或
时，
；当
时，
；

∴函数
在
上单调递减，

在
和
上单调递增函数……………6分

(Ⅱ)∵
是
的两个极值点，故满足方程
，

即
是
的两个解，∴
，…………………………7分

∵

……………………………………………8分

而在
中，

因此，要证明
，等价于证明
……………………………………… 10分

注意到
，只需证明
，即证

令

，则
，

当
时，
，函数
在
上单调递增；

当
时，
，函数
在
上单调递减；

因此
，

从而
，即
，原不等式得证…………………………………… 12分

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