2015年高考综合练习数学(理科)试卷

（时间：120分钟；满分：150分）

注意事项：

1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；

2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置．）

1．已知全集
，集合
，则
（ ）

A．
B．

C．
D．

2．如图，在复平面内，若复数
对应的向量分别是
，则复数
所对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

3．若一个几何体的三视图，其正视图和侧视图均为矩形、俯视图为正三角形，尺寸如图所示，则该几何体的体积为( )

A.
B．
C．
D．

4．下列命题正确的个数有( )

（1）命题“
为真”是命题“
为真”的必要不充分条件

（2）命题“
,使得
”的否定是:“对
, 均有
”

（3）经过两个不同的点
、
的直线都可以用方程

来表示

（4）在数列
中,
,
是其前
项和,且满足
,则
是等比数列

（5）若函数
在
处有极值10，则

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5．如图，执行程序框图后，输出的结果为（ ）

A．8　　　　B．10 　C．12 D．32

6.在锐角三角形ABC中，已知A>B>C,则
的取值范围为（ ）

A.
B.
C.
D.

7．已知
，
，
，
，则
的最大值为（ ）

A.
B. 2 C.
D.

8．若从区间
内随机取两个数，则这两个数之积不小于
的概率为（ ）

A．
B.
C.
D.

9．如图，在正方体
中，若平面
上

一动点
到
和
的距离相等，则点
的轨迹为（ ）

A．椭圆的一部分 B．圆的一部分

C．一条线段 D．抛物线的一部分

10．已知双曲线
的左、右焦点分别为
、
，过
作圆
的切线分别交双曲线的左、右两支于点
、
，且
，则双曲线的渐近线方程为（ ）

A..
B．
C．
D．

11.已知定义在
上的函数
满足:⑴
，⑵
，

(3)在
上表达式为
，则函数
与函数
的图像在区间
上的交点个数为（ ）

A.5 B.6 C.7 D.8

12．定义空间两个向量的一种运算
，则关于空间向量上述运算的以下结论中：

①
； ②
； ③
；

④若
，则
。其中恒成立的有（ ）

A．①④ B.①③ C.②③ D.②④

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-第24题为选考题，考生根据要求做答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．已知多项式
则
_______

14．已知三次函数
的图象如图所示，

则
　　．

15.已知函数
，（
），则函数
的单调增区间为

16. 定义函数
，若存在常数
，对于任意
，存在唯一的
，使得
，则称函数
在
上的“均值”为
，已知
，则函数
在
上的“均值”为______．

三、解答题：本大题共共70分．解答写在答题卡相应位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.（本小题满分12分）

已知等差数列
满足：
，
，该数列的前三项分别加上1，1，3后成等比数列,
.

（Ⅰ）分别求数列
，
的通项公式;

（Ⅱ）求证：数列
的前
项和

.

18．（本小题满分12分）

西安市某中学在每年的11月份都会举行“文化艺术节”，开幕式当天组织举行大型的文艺表演，同时邀请36名不同社团的社长进行才艺展示.其中有
的社长是高中学生，
的社长是初中学生，高中社长中有
是高一学生，初中社长中有
是初二学生.

（Ⅰ）若校园电视台记者随机采访3位社长，求恰有1人是高一学生且至少有1人是初中学生的概率；

（Ⅱ）若校园电视台记者随机采访3位初中学生社长，设初二学生人数为
，求
的分布列及数学期望
.

19．（本小题满分12分）

如图，三棱柱
中，
平面
，
，
, 点
在线段
上，且
，
．

（Ⅰ）求证：直线
与平面
不平行；

（Ⅱ）设平面
与平面
所成的锐二面角为
，若
，求
的长；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设平面
平面
，求直线
与
所成的角的余弦值．

20．（本小题满分12分）

如图，圆
与
轴相切于点
，与
轴正半轴相交于两点
（点
在点
的左侧），且
．

（Ⅰ）求圆
的方程；

（Ⅱ）过点
任作一条直线与椭圆
相交于两点

，连接
，求证：
．

21．（本小题满分12分）

已知函数

（Ⅰ）当
对任意的实数x恒成立，求a的取值范围；

（Ⅱ）若
.

请考生从22、23、24题中任选一题做答.多答按所答的首题进行评分.

22．（本题满分10分) 选修4—4：极坐标与参数方程

在直角坐标平面内，以坐标原点
为极点，
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. 已知点
、
的极坐标分别为
、
，曲线
的参数方程为
为参数）．

（Ⅰ）求直线
的直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线
和曲线C只有一个交点，求
的值．

23.（本题满分10分) 选修4—5：不等式选讲

已知关于
的不等式
对于任意的
恒成立

（Ⅰ）求
的取值范围；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下求函数
的最小值．

24.（本题满分10分) 选修4—1：几何问题选讲

如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB垂直，垂足为M，E是CD延长线上的一点，且AB=10,CD=8,3DE=4OM，过F点作⊙O的切线EF，BF交CD于G

（Ⅰ）求EG的长；

（Ⅱ）连接FD,判断FD与AB是否平行，为什么？

2015年高考综合练习数学(理科)

理数学试题参考答案及评分参考

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)

1.B 2.A 3. D 4. B 5.B； 6.A 7. C 8. B 9.D. 10. C ；11. B. 12.A

二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)

13. -10 14.
15.
16.1007

三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．（本小题满分12分）

【解析】（Ⅰ）设d为等差数列
的公差，且

由
分别加上1，1，3成等比数列，

得

，所以
，所以
，

又因为
，

所以
即
.…………… .............................6分

（Ⅱ）
①

② ①—②，得

……………. ..................10分

……….. ..............12分

18．（本小题满分12分）

【解析】（Ⅰ）由题意得，高中学生社长有27人，其中高一学生9人；初中学生社长有9人，其中初二学生社长6人。

事件
为“采访3人中，恰有1人是高一学生且至少有1人是初中学生”。
……………………........ 6分

（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3

,
sj.fjjy.org

，
，sj.fjjy.org

所以X的分布列为

X

0

1

2

3
















……………………12分

19．（本小题满分12分）

【解析】依题意，可建立如图所示的空间直角坐标系
，设
，则

．.......................2分

（Ⅰ）证明：由
平面
可知
为平面
的一个法向量．

∴　
． 3分

∴　直线
与平面
不平行． 4分

（Ⅱ）设平面
的法向量为
，则

， 5分

取
，则
，故
． 6分

∴
， 7分

解得
．

∴　
． 8分

（Ⅲ）在平面
内，分别延长
，交于点
，连结
，则直线
为平面
与平面
的交线． 9分

∵　
，
，

∴　
．

∴　
，

∴　
． 10分

由（Ⅱ）知，
，故
，

∴　
． 11分

∴　直线
与
所成的角的余弦值为
． 12分

20．（本小题满分12分）

【解析】（Ⅰ）设圆
的半径为
（
），依题意，圆心坐标为
．… 1分

∵　

∴　
，解得
． 3分

∴　圆
的方程为
． 5分

（Ⅱ）把
代入方程
，解得
，或
，

即点
，
． 6分

（1）当
轴时，由椭圆对称性可知
． 7分

（2）当
与