2014学年第一学期长宁区高三数学教学质量检测试卷（理）

考生注意：本试卷共有23道试题，满分150分．考试时间120分钟．解答必须写在答题纸上的规定区域，写在试卷或草稿纸上的答案一律不予评分．

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸的相应编号的空格内填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．

1．函数y＝sin2xcos2x的最小正周期是___________________.

2．若集合
，则M∩N_______________.

3．复数
=______________.（是虚数单位）

4．已知数列
的前项和
，则其通项公式为

5. 已知
，则

6. 已知
且
，则复数
对应点在第二象限的概率为
（用最简分数表示）

7．已知函数
，
是函数
的反函数，若
的图象过点
，则的值为
　

8．如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的

母线与底面所成的角的大小是 .

9．根据右面的框图，打印的最后一个数据是 .

10．已知数列
是以
为公差的等差数列，
是其前

项和，若
是数列
中的唯一最大项，则数列

的首项
的取值范围是 .

11．五位同学各自制作了一张贺卡，分别装入5个空白

信封内，这五位同学每人随机地抽取一封，则恰好

有两人抽取到的贺卡是其本人制作的概率是 .

12. 已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且
， 则
的值是 。

13. 如图，在
中，点
是
的中点，过点
的直线分别交直线
，
于不同的两点
，若
，
，则
的值为 ．

14.已知
的展开式中的常数项为，
是以为

周期的偶函数，且当
时，
，若在区间
内，函数

有4个零点，则实数
的取值范围是 ．

二．选择题(本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内),一律得零分．

15．设z1、z2∈C,则“z
+z
=0”是“z1=z2=0”的 ( )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

16．函数
的图象为 （ ）

　 A B C D

17.
是△ABC所在平面内的一点，且满足
，则△ABC的形状一定是 （ ）

A. 正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.斜三角形

18.下面有五个命题：

①函数
的最小正周期是
；

②终边在y轴上的角的集合是
；

③在同一坐标系中，函数
的图象和函数
的图象有一个公共点；

④把函数
；

⑤在
中，若
，则
是等腰三角形
；

其中真命题的序号是 （ ）

．（1）（2）（3） ．（2）（3）（4）
．（3）（4）（5） ．（1）（4）（5）

三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的相应编号规定区域内写出必须的步骤．

19．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）

如图：三棱锥
中，
(底面
，若底面
是边长为2的正三角形，且
与底面
所成的角为
．若
是
的中点，求：

（1）三棱锥
的体积；

（2）异面直线
与
所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

20．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）

已知

（1）求
的值；

（2）求
的值。

21．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分10分）

已知函数
的图像与轴正半轴的交点为
， =1，2，3，…．

求数列
的通项公式；

令
为正整数）, 问是否存在非零整数, 使得对任意正整数，都有
？ 若存在, 求出的值 , 若不存在 , 请说明理由．

22.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

已知函数
（、
），满足
，且
在
时恒成立．

（1）求、的值；

（2）若
，解不等式
；

（3）是否存在实数，使函数
在区间
上有最小值
？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

23. （本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

已知数列
满足

(1)设
是公差为
的等差数列.当
时,求
的值;

(2)设
求正整数
使得一切
均有

(3)设
当
时,求数列
的通项公式.

2014学年第一学期高三数学教学质量检测试卷

参考答案（理）

一、填空题

1、
2、
3、
4、

5、
6、
7、 8、
9、
10、
11、

12、
13、2 14、

二、选择题

题号

15

16

17

18



答案











三、解答题

19、[解]（1）因为
底面
，
与底面
所成的角为

所以
………2分 因为
，所以
…………4分

………………6分

（2）连接
，取
的中点，记为
，连接
，则

所以
为异面直线
与
所成的角 ………………7分

计算可得：
，
，
………………9分

………………11分

异面直线
与
所成的角为
………………12分

20、【解】（1）由条件得到
，………………2分

解得
或者
………………4分

，
………………6分

（2）
………………2分+2分+2分=6分

21、（理）【解】：（1）设
，
得
。

所以
…………………………………………………………………………4分

（2）
，若存在
，满足
恒成立

即：
，………………………………6分

恒成立 ……………………………………………………8分

当为奇数时，


………………………………………10分

当为偶数时，


…………………………………12分

所以
………………13分，

故：
………………………14分

22、【解】（1）由
，得
，………………1分

因为
在
时恒成立，所以
且△
，
，

………………2分

即
，
，
，所以
．……………4分

（2）由（1）得
，由
，得

，即
，………………7分

所以，当
时，原不等式解集为
；

当
时，原不等式解集为
；

当
时，原不等式解集为空集 ． ………………10分

（3）
， ………………11分

的图像是开口向上的抛物线，对称轴为直线
．

假设存在实数，使函数
在区间
上有最小值
．

当
，即
时，函数
在区间
上是增函数，所以
，即
，解得
或
，

因为
，所以
； ………………13分

②当
，即
时，函数
的最小值为
，即

，解得
或
，均舍去； ………………15分

③当
，即
时，
在区间
上是减函数，所以
，即
，解得
或
，因
，所以
． ………………17分

综上，存在实数，
或
时，函数
在区间
上有最小值
． ………………18分

23、【解】(1)
, ………………2分

………………4分

(2)由
, ………………5分

由
,即
; ………………7分

由
,即
………………9分

. ………………10分

(3)由
, ………………11分

故
,

………………13分

当
时,以上各式相加得

………………15分

当
时,

………………17分

,
………………18分