成都市2015届高中毕业班第二次诊断性检侧

数学（理工类）

一、选择题（50分）

1.已知i是虚数单位，则
＝

(A)
＋
　　　(B)－
＋
　　　(C)
－
　　　（D）－
－
　

2、双曲线
的右焦点到抛物线
的准线的距离为

　（A）5　　　　　（B）4　　　　　　　（C）3　　　　　　（D）2

3、某几何体的正视图和俯视图如图所示，若正视图是面积为3的矩形，俯视图是边长为1的正三角形，则该几何体的侧视图的面积为

　（A）3　　　　　（B）3
　　　　　　（C）
　　　　（D）9

4、设函数
的图象为C，则下列表述正确的是

　（A）点（
，0）是C的一个对称中心　　　（B）直线
是C的一条对称轴

　（C）点（
，0）是C的一个对称中心　　　（B）直线
是C的一条对称轴

5、若实数x，y满足
，则
的取值范围为

6、执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为
，则输出的i的值为

（A）4　　　　（B）3　　　　（C）2　　　　（D）1

7、已知函数f（x）的部分图象如图所示，则下列关于f（x）的表达式中正确的是

（A）
　　　　　（B）

（C）
　（D）

8、小明手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的k，3张为不同花色的A。规定每次只能出同一种点数的牌（可以只出一张，也可出多张），出牌后不再后收回，且同一次所出的牌不考虑顺序，若小明恰好4次把牌出完，则他不同的出牌方式种数共有

　（A）48　　　　（B）74　　　　（C）96　　　　（D）98

9、已知关于x的方程

恒有实数解，记m的所有可能取值构成集合P；又焦点在x轴上的椭圆
的离心率的取值范围为
，记n的所有可能取值构成集合Q。设M＝P
Q，若
为区间［－1,4］上的随机数，则
的概率为

　（A）
　　　　（B）
　　　（C）
　　　（D）
　

10、已知函数f（x）与g（x）的公共定义域为I，函数h（x）满足：对任意
，点（x，h（x））与（x，g（x））均关于点（x，f（x））对称，若f（x）＝alnx－x2＋ax（a＞0），对任意
，函数g（x）满足2g（x）－g（1－x）＝
，其中2＝2.71828…为自然对数的底数，有下列命题：

①当a＝1时，曲线y＝h（x）在x＝1处的切线的斜率为－e－2；

②当a＝1，
时，函数h（x）的值域为（－
］；

③若函数f（x）在（0,2）内不单调，则a的取值范围为（0,2）④设函数
，其中
为
的导函数，若O为坐标原点，函数F（x）的图象为C，则对任意点M
C，都存在唯一点N
C，使得

其中真命题的个数为

（A）1　　　　　　（B）2　　　　（C）3　　　　（D）4

二、填空题（25分）

11、设函数
，则
＝　　　　

12、已知
为第三象限的角，且
，则
＝　　　　　　

13、已知三棱柱AB-A1B1C1的侧棱垂直于底面，且底面边长与侧棱长都等于3，蚂蚁从A点沿侧面经过棱BB1上的点N和CC1上的点M爬到点A1，如图所示，则当蚂蚁爬过的路程最短时，直线MN与平面ABC所成角的正弦值为　　　　　　

14、在如图所示的方格柢中，向量a，b，c的起点和终点均在格点（小正方形顶点）上，若c与xa＋yb（x，y为非零实数）共线，则
的值为　　　　　　

15、已知点
其中

，且
，
。若四边形ABCD是矩形，则此矩形绕x轴旋转一周得到的圆柱的体积的最大值为　　　　

三、解答题（75分）

16、（12分）已知向量
若函数
的最小正周期为
。

　（I）求
的值。

　（II）在△ABC中，若
的值。

17、（12分）如图，已知四棱柱ABD－A1B1C1D1的底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AD⊥CD，侧棱AA1⊥底面ABCD，E是CD的中点，CD＝2AB＝2AD，AD＝1，AA1＝
。

（I）求证：EA1⊥平面BDC1；

（II）求二面角D－BC1－D1的余弦值。

18、（12分）

已知等差数列{
}的前n项和为
，且点（2，
均在直线x－y＋1＝0上。

（I）求数列{
}的通项公式
及前n项和为
；

（II）设
，试比较
的大小。

19、（12分）为检测某种零件的生产质量，检验人员需抽取同批次的零件样本进行检测并评分．若检测后评分结果大于60分的零件为合格零件，评分结果不超过40分的零件将直接被淘汰，评分结果在(40,60]内的零件可能被修复也可能被淘汰．

（I）已知200个合格零件的评分结果的频率分布直方图如图所示．请根据此频率分布直方图，估计这200个零件评分结果的平均数和中位数；

（II）根据已有的经验，可能被修复的零件个体被修复的概率如下表：

假设每个零件被修复与否相互独立．现有5个零件的评分结果为（单位：分）：38，43，45，

52，58，记这5个零件被修复的个数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．

20、（13分）已知椭圆
的右焦点F2的坐标为(c,0)，若b＝c,且点(c, l)在椭

圆
上．

（I）求椭圆
的标准方程；

（II）当k≠0时，若直线
与椭圆
的交点分别为A，B和C，D，记四边形ACBD的面积为S,.

①求S1关于k的表达式；

　　②若直线
的交点分别为M，N和P，Q，记四边形MNPQ的面积为S2，试判断
是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由。

21、（14分）已知函数
，其中
为自然对数的底数。

（I）当b＝－a时，求f（x）的极小值；

（II）当f（x＋1）＋a≥0时，对x
R恒成立，求ab的最大值；

（III）当a＞0，b＝－a时，设
为f（x）的导函数，若函数f（x）有两个不同的零点
，且
，求证：

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