考试时间：120分钟 满分：160分

一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分．把答案填在答卷纸相应的位置上．

1. 若集合
，则集合
．

2. 设是虚数单位，复数
为纯虚数，则实数的值为　　．

3. 为了解某地区的中小学生视力情况，从该地区的中小学生中用分层抽样的方法抽取300位学生进行调查，该地区小学，初中，高中三个学段学生人数分别为1200，1000，800，则从初中抽取的学生人数为________．

4. 一个算法的流程图如图所示，则输出的S值为_______．

5. 若e1，e2是两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝5e1＋4e2，且a⊥b，则e1，e2的夹角为________．

6. 函数f(x)＝2sin最靠近坐标原点的对称中心为_______．

7. 若等差数列{an}的公差为d，前n项的和为Sn，则数列为等差数列，公差为.类似地，若各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q，前n项的积为Tn，则数列{}为等比数列，公比为____________．

8. 长方体
中，
，则其外接球的体积为 ．

9. 在△ABC中，已知
，
，
，则边
的长为 ．

10. 直线
：
与圆
：
相交于
两点，则“
”是“
的面积为
”的 条件. (填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”之一)

11．设
是空间的不同直线或不同平面，下列条件中能保证“若
，且
，则
” 为真命题的是 ． （填所正确条件的代号）

①
为直线； ②
为平面；

③
为直线，为平面； ④为直线，
为平面.

12．如果双曲线－＝1的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则该双曲线的离心率为___．

13. 函数
，当
时，
恒成立，求
．

14. 数列
、
都是等比数列，当
时，
，若数列
唯一，则
= ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15．(本小题满分14分)

已知函数
．

（１）求
的最小正周期；

（２）若将
的图像向左平移
个单位，得到函数
的图像，求函数
在区间
上的最大值和最小值．

16．(本小题满分14分)

如图，在四棱锥
中，底面
是矩形，侧棱PD⊥底面
，
，

是
的中点，作
⊥
交
于点.

（１）证明：
∥平面
；

（２）证明：
⊥平面
.

17．(本小题满分14分)

某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x (x∈
)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为
万元(a＞0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%．

（１）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？

（２）在（1）的条件下，若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？

18．(本小题满分16分)

18. (本小题满分16分)

如图，已知椭圆C：＋＝1的离心率为，过椭圆C上一点P(2，1)作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于点A、B，直线AB与x轴交于点M，与y轴负半轴交于点N.

(1) 求椭圆C的方程；

(2) 若S△PMN＝，求直线AB的方程．

19．(本小题满分16分)

函数
．

（１）若
，求曲线
在
的切线方程；

（２）若函数
在
上是增函数，求实数的取值范围；

（３）设点
，
，
满足

，

判断是否存在实数，使得
为直角？说明理由．

20．(本小题满分16分)

若数列
的各项均为正数，
，为常数，且
.

（１）求
的值；

（２）证明：数列
为等差数列；

（３）若
，对任意给定的k∈N*，是否存在p，r∈N*(k

等差数列？若存在，用k分别表示一组p和r；若不存在，请说明理由．

考试时间：30分钟 满分：40分

21．(本小题满分10分）已知矩阵
，若矩阵属于特征值6的一个特征向量为
，属于特征值1的一个特征向量为
．求矩阵的逆矩阵．

22．(本小题满分10分）已知曲线
的极坐标方程为
，曲线
的极坐标方程为
，判断两曲线的位置关系．

23．(本小题满分10分）已知直线l的参数方程为(t为参数)，P是椭圆＋y2＝1上任意一点，求点P到直线l的距离的最大值．

24．(本小题满分10分）如图，已知三棱锥O—ABC的侧棱OA、OB、OC两两垂直，

且OA＝2，OB＝3，OC＝4，E是OC的中点．

(1) 求异面直线BE与AC所成角的余弦值；

(2) 求二面角A—BE—C的余弦值．



（Ⅰ）卷

一、填空题（每小题5分，共70分）

1.
2.
　3. 100 4. 45 5. π 6.
7. 

8.
6 9.
10. 充分而不必要 11．③ 12． 13.
14.

二、解答题（本大题共6小题，共90分）

15． (本题满分14分)

解　(1)

……5分

. ………………7分

(2)由已知得
，

………………………………………9分

，
， ………………11分

故当
即
时，
；

当
即
时，
， ……14分

16．(本题满分14分)证明：(1)连结
交
与，连结
.

∵底面
是矩形，∴点是
的中点.

又∵是
的中点∴在△
中，
为中位线

∴
∥
.
平面
，
平面
，

∴
∥平面
. ……7分

(2)由
⊥底面
，得
⊥
.∵底面
是正方形，∴
⊥
，

∴
⊥平面
. 而
平面
，∴
⊥
.①

∵
，是
的中点，∴△
是等腰三角形，
⊥
.②

由①和②得
⊥平面
.而
平面
，∴
⊥
.

又
⊥
且


=，∴
⊥平面
. ……14分

17. (本题满分14分)

解：（1）由题意，得10(1000－x)(1＋0.2x %)≥10×1000，即
－500x≤0，

又x＞0，所以0＜x≤500．即最多调整500名员工从事第三产业． ……5分

（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为
万元，

从事原来产业的员工的年总利润为
万元，

则
≤
， ……8分

所以ax－
≤1000＋2x－x－
，

所以ax≤
＋1000＋x，即a≤
＋
＋1恒成立． ……11分

因为
＋
≥
＝4，当且仅当
＝
，

即x＝500时等号成立，所以a≤5，又a＞0，所以0＜a≤5．

所以a的取值范围为(0，
． ……14分

18. (本题满分16分)

解：(1) 由题意：＝，∴ c2＝a2，b2＝a2.(2分)

又P(2，1)在椭圆上，∴ ＋＝1，∴ a2＝8，b2＝2，∴ 椭圆C方程为＋＝1.(4分)

(2) 设直线PA的方程为y－1＝k(x－2)，代入方程x2＋4y2＝8，得

(1＋4k2)x2－8(2k－1)x＋16k2－16k－4＝0.(6分)

∵ PA与PB倾斜角互补，∴ kPA＝－kPB，∴ 同理B，(10分)

∴ kAB＝＝，(12分)

设直线AB的方程为y＝x＋m，即x－2y＋2m＝0，M(－2m，0)，N(0，m)(m＜0)，

d＝＝，MN＝＝|m|，

∴ S△PMN＝|m|＝，∴ m＝－，m＝1(舍去)，(15分)

∴ 所求直线AB的方程为x－2y±＝0.(16分)

19. (本题满分16分)

解（1）
． ……………3分

（2）
在
恒成立， ……………5分

设
，
值域
，

即
在
恒成立，

，
． ……………10分

（3）
，

不存在实数，使得
为直角． ……………16分

20. (本题满分16分)

解：（1）由条件，设

令
，得
①，令
，得
②

①—②，得
，
，

……………………………………4分

（2）
③，
④，

④—③，得
……………………………7分

数列
为常数数列，

， 数列
为等差数列. ……………10分

（3）由（2）知，数列
为等差数列，设公差为，

则由条件
，得

，又数列
的各项为正数，

，
，
.……………………………………12分

当k＝1时，若存在p，r使，，成等差数列，则＝－1＝≤0.

当k≥2时，存在一组p＝2k－1，r＝k(2k－1)满足题意． …… 16分

（II）卷

21、解：由矩阵属于特征值6的一个特征向量为
，可得

＝6
，

即