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四川省棠湖中学2015届高三9月月考数学（理）试题
试题分第Ｉ卷和第Ⅱ卷两部分。满分150 分，考试时间120分钟。 第Ⅰ卷 （选择题 共50分） 一、选择题：本大题共l0个小题，每小题5分，共50分。每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。 1.已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2.已知复数满足 (其中为虚数单位)，则的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 3.向量，，且∥，则锐角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 4.若随机变量的分布列如右： 那么等于（ ） A． B． C． D． 5.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A．若, 则 B．若，∥，∥ ，则 C．若， 则 D．若 则 6.将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安 排方法的种数为 （ ） A．10 B．20 C．30 D．40 7.为了得到函数的图象，只要将的图象上所有的点 ( ) A.向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 B.向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C.向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 D.向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 8．已知四棱锥的三视图如图，则四棱锥 的全面积为（ ） A. B. C. 5 D. 4 9． 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果是（ ）
A．7 B．9 C．10 D．11 定义域为的函数满足，当时， 若当时，函数恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题，共100分）
填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11.已知函数则________. 12.在区间上随机取一个实数，则事件“”发生的概率为________. 13.若某一离散型随机变量的概率分布如下表，且，则的值为________. 2 P a b 14. 已知展开式的第4项为常数项，则________. 15．是定义在上的函数，若存在区间，使函数在上的值域恰为，则称函数是型函数。给出下列说法： ①不可能是型函数； ②若函数是1型函数，则的最大值为； ③若函数是3型函数，则； ④设函数是型函数，则的最小值为； 其中正确的说法为_____________．（填入所有正确说法的序号） 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16.（本小题满分12分） 甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率是0.8，计算： （Ⅰ）两人都击中目标的概率； （Ⅱ）其中恰有1人击中目标的概率； （Ⅲ）至少有1人击中目标的概率。 17．（本小题满分12分） 已知函数 （Ⅰ）求的最小正周期与单调递增区间； （Ⅱ）当时，求的最大值和最小值。 18.（本小题满分12分） 在三棱柱中，，侧棱，分别是棱的中点，点在棱上，且。 （I）求证：； （II）求二面角的余弦值。 19. (本题满分为12分) 已知等比数列中，，且满足 （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）若，数列的前n项和为，求。 20.（本题满分13分） PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物。PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米与75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标。 成都市区2014年2月6日至15日每天的PM2.5监测数据如茎叶图所示。 PM2.5日均值（微克/立方米） 2 1 6 3 7 5 9 6 0 3 8 5 6 10 4 7 （Ⅰ）小陈在此期间的某天曾经来此地旅游，求当天PM2.5日均监测数据未超标的概率； （Ⅱ）小王在此期间也有两天经过此地，这两天此地PM2.5监测数据均未超标。请计算出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率； （Ⅲ）从所给10天的数据中任意抽取三天数据，若表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求的分布列及期望。
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16.解：记“甲射击一次击中目标”为事件A，“乙射击一次击中目标”为事件B. （Ⅰ）显然，“两人各射击一次，都击中目标”就是事件A·B，又由于事件A与B相互独立.∴ P(A·B)=P(A)·P(B)=0.8×0.8=0.64. …………4分 （II）“两个各射击一次，恰好有一人击中目标”包括两种情况：一种是甲击中乙未击中(即A·)，另一种是甲未击中乙击中(即·B)，根据题意这两种情况在各射击一次时不可能同时发生，即事件A··B是互斥的，所以所求概率为： P= =0.8×(1-0.8)+(1-0.8)×0.8=0.16+0.16=0.32. …………8分 （Ⅲ）“两人各射击一次，至少有一人击中目标”的概率为： P=P(A·Ｂ)+［P(A··Ｂ)］=0.64+0.32=0.96. …………12分 …………12分
解：（I）证明：取AB的中点， ，所以F为AM的中点，又因为E为的中点，所以. 在三棱柱中，分别为的中点， ， 所以四边形为平行四边形，， ，又， . …………6分 （II）以AB的中点M为原点，分别以、、所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，， ∴，，． 设面BC1D的一个法向量为，面BC1E的一个法向量为， 则由得取， 又由得取， 则， 故二面角E－BC1－D的余弦值为 …………12分 解： （Ⅰ）设等比数列的首项为，公比为 由已知条件，得： …………6分 （Ⅱ） …………12分 20.解： （Ⅰ）记“当天PM2.5日均监测数据未超标”为事件A, . …………2分 （Ⅱ）记“这两天此地PM2.5监测数据均未超标且空气质量恰好有一天为一级” 为事件B, . …………5分 （Ⅲ）的可能值为， ；； …………9分
其分布列为： …………13分 21.解：（Ⅰ） 令 ①当时，，当,函数单调递减；当，函数单调递增. ②当时，由，即，解得. 当时，恒成立，此时，函数单调递减； 当时，,时，函数单调递减； 时，，函数单调递增； 时，，函数单调递减. 当时，当,函数单调递减； 当，函数单调递增. 综上所述：当时，函数在单调递减，单调递增； 当时,恒成立,此时，函数在单调递减； 当时,函数在递减,递增,递减. （Ⅱ）当时，在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数，所以对任意， 有， 又已知存在，使，所以，，（※） 又 当时，与（※）矛盾； 当时，也与（※）矛盾； | ||||||||||||||||||||||||||||||
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