龙海二中2014-2015学年上学期期末考高三数学（文）试卷

（考试时间：120分钟 总分：150分）

命题人：龙海二中 郭文俊

第Ⅰ卷 (选择题 共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集
，集合
，
，则(?IA)∪B为（ ）

A．{3} B．{1,3} C．{3,4} D．{1,3,4}

2．．复数
的虚部为 （ ）

A． B．
C．
D. 2

3. 已知向量
，若
,则
（ ）

A．
B．
C．
D．

4．双曲线
的渐近线方程为（ ）

A．
B．
C．
D．

5.阅读右边的程序框图，如果输出的函数值在区间
内，那么输入实数的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

6.在边长为的正方形
内任取一点，则点到点的距离小于的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

7.设变量x,y满足约束条件
，则目标函数
的最大值为（ ）

(A)10 (B) 8 (C) 7 ( D)2

8.
中，角
的对边分别为
，则“
”是“
是等腰三角形”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

9．设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2,1]上的图像，则f(2 014)＋f(2 015)＝（ ）

A．3 B．2 C．1 D．0

10．某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其 中俯视图中椭圆的离心率为 （ ）

A．
B．
C．
D．

11．已知定义在实数集R上的函数
满足
=2，且
的导数
在R上恒有

，则不等式
的解集为（ ）

A．
B．
C．
D．
∪

12. 已知是虚数单位，记
，其中
，给出以下结论：

①
②
③
，则其中正确结论的个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷的相应位置.

13. 已知
，则
的值为 。

14．如图，在平面直角坐标系中，锐角
的终边分别与单位圆交于
两点．如果
，点的横坐标为
，则
．

15．已知圆
与圆
交于
两点，则直线
的方程为 .

16. 如图，在透明材料制成的长方体容器

内灌注一些水，固定容器底面一边
于桌面上，再将

容器倾斜，根据倾斜度的不同，有下列命题：

（1）水的部分始终呈棱柱形；

（2）水面四边形
的面积不会改变；

（3）棱
始终与水面
平行；

（4）当容器倾斜如图所示时，
是定值。

其中所有正确命题的序号是 。

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17.(本小题满分12分)

已知函数

（1）求函数
的最小正周期和值域；

（2）已知
的内角
所对的边分别为
，若
，且
求
的面积.

18（本小题满分12分）

海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如下表所示. 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.

地区

A

B

C



数量

50

150

100



（Ｉ）求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；

（II）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.

19．（本小题满分12分）

设
是公差大于零的等差数列，已知
，
.

（1）求
的通项公式；

（2）设
是以函数
的最小正周期为首项，以
为公比的等比数列，求数列
的前项和
.

20．（本小题满分12分）

如图，PA平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA=AB=
，AD=1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动.

（Ⅰ）当点E为BC的中点时， 证明EF//平面PAC；

（Ⅱ）求三棱锥E-PAD的体积；

（Ⅲ）证明：无论点E在边BC的何处，都有PEAF.

21. (本小题满分12分)

已知x∈[0，1]，函数
.

（1）求函数f（x）的单调区间和值域；

（2）设a ≤-1，若
，总存在
，使得g（x0）=f（x1）成立，求a的取值范围.

22．（本小题满分14分）

已知抛物线
，过点
的直线与抛物线交于
两点，且直线与轴交于点

(1)求证：
成等比数列；

(2)设
，
，试问
是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由．

龙海二中2014-2015学年上学期期末考

高三数学（文）参考答案

一、本大题共12小题，每小题5分，共60分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

D

C

B

C

B

C

B

A

A

D

A

D



二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.

13. 3 14.
15 .
16 （1） （3）（4）

17. (本小题满分12分)

解：（1）

………3分

所以函数
的最小正周期
，值域为
………6分

,
,
,

,
, ………8分

,由正弦定理得
,

………9分

………10分

………12分

18. (本小题满分12分)

解析：（Ⅰ）因为工作人员是按分层抽样抽取商品，所以各地区抽取商品比例为：

………3分

所以各地区抽取商品数为：
，
，
；……6分

（Ⅱ）设各地区商品分别为：
………7分

6件样品中随机抽取2件的基本事件为：

，共15个.……9分

2件商品来自相同地区的基本事件为：
…11分

记“这两件商品来自同一地区的事件”为A，则它的概率为：
.……12分

19．(本小题满分12分)

解：（1）设
的公差为
，则

解得
或
（舍）……5分

所以
…………6分

（2）

其最小正周期为
，故首项为1；………7分

因为公比为3，从而
…………8分

所以

故

………12分

20.(本小题满分12分)

解（Ⅰ）证明： 连结AC，EF

∵点E、F分别是边BC、PB的中点

∴
中，
…………………………………2分

又

………………3分

∴当点E是BC的中点时，EF//平面PAC …………4分

（Ⅱ）∵PA平面ABCD且

∴
，
，

∴
中，PA =
，AD=1

∴
………6分

又四边形ABCD为矩形

∴

又AD和PA是面PAD上两相交直线

∴

又AD//BC

∴AB就是三棱锥E-PAD的高． ……………………………7分

∴
. ……………8分

（Ⅲ）∵
，PA=AB=
，点F是PB的中点

∴等腰
中，
…………………………9分

又
，
且PA和AB是平面PAB上两相交直线

∴BC平面PAB

又

∴
…………………………………………………10分

又PB和BC是平面PBC上两相交直线

∴
…………………………………………11分

又
∴

∴无论点E在边BC的何处，都有PEAF成立. …………………………………12分

21. (本小题满分12分) 解：（Ⅰ）f'（x）=2x-错误！不能通过编辑域代码创建对象。，

令f'（x）=0，解得：
，x=-1（舍去）……………………2分

列表：

x

0

（0，
）



（
，1）

1



f '（x）



-

0

+





f（x）

ln2

↘



↗

1-ln



可知f（x）的单调减区间是（0，
），增区间是（
，1）；……4分

因为
<1-ln
=ln2-（ln3-1）

所以当x [0，1]时，f（x）的值域为[
，ln2]…………………6分

（Ⅱ）g'（x）=3（x2-a2）

因为a≤-1，x [0，1]所以g'（x）<0，…………………………8分

g（x）为[0，1]上的减函数，g（1）≤g（x）≤g（0），

所以g（x） [1-4a-3a2，-4a]…………………………………………10分

因为当x [0，1]时，f（x）的值域为[
，ln2]

由题意知：[
，ln2] [1-4a-3a2，-4a]

所以

又a≤-1，得a≤-
。……………………………………………………12分

22. (本小题满分14分)

解：(1)证明：设直线的方程为：
，………1分

联立方程可得
得
①………2分

设
，
，
，则
，②………3分

，………4分

而
，∴
，………5分

即
成等比数列．………6分

(2)由
，得

，
，………9分

即得：
，则
………12分

由(1)中②代入得
，故
为定值且定值为－1. ………14分