高三数学测试题（理）

试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。

★ 祝考试顺利 ★

注意事项：

１.考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．

２.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效。

３.填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内。答在试题卷上无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 方程
的一个根是（ ）

A.
B.
C.
D.

2. 总体有编号为01,02,…,19,20的20个个体组成。利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为

7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198



 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481



 （　　）

A．08 B．07 C．02 D．01

3. 下列命题，正确的是（ ）

A.命题:
，使得
的否定是：
，均有
.

B.命题：若
,则
的否命题是：若
，则
.

C.命题：存在四边相等的四边形不是正方形，该命题是假命题.

D.命题：
，则
的逆否命题是真命题.

4.函数f(x)=
的定义域为

A.(- ∞,-4)［∪2,+ ∞］ B.(-4,0) ∪(0,1)

C. ［-4,0］∪（0，1）］　　　　　　　　D. ［－4，0∪（0，1）

5.若函数
上的一组正交函数，给出三组函数：

①
；②
；③

其中为区间
上的正交函数的组数是（ ）

A.0 B.1 C.2 D.3

6.定义在
上的函数
，如果对于任意给定的等比数列
，
仍是等比数列，则称
为“保等比数列函数”. 现有定义在
上的如下函数：

①
； ②
； ③
； ④
.

则其中是“保等比数列函数”的
的序号为

① ② B．③ ④ C．① ③ D．② ④

7.双曲线
的离心率大于
的充分必要条件是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

8.设不等式组
表示的平面区域为D，若指数函数y=
的图像上存在区域D上的点，则a 的取值范围是

（A）(1,3] (B )[2,3] (C ) (1,2] (D )[ 3,
]

9.如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割成125个同样大小的小正方体.经过搅拌后,从中随机取出一个小正方体,记它的涂油漆面数为
,则
的均值为
（　　）

A．
B．
C．
D．



10.设函数
.若存在
的极值点
满足
，则m的取值范围是（ ）

A.
B.

C.
D.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

（一）必考题（11—14题）

11. 已知点
.
.
.
,则向量
在
方向上的投影为______.

12.已知△ABC得三边长成公比为
的等比数列，则其最大角的余弦值为_________.

13. 从某小区抽取100户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在50到350度之间,频率分布直方图所示.

(I)直方图中
的值为___________;

(II)在这些用户中,用电量落在区间
内的户数为_____________.

14.如图，双曲线
的两顶点为
，
，虚轴两端点为
，
，两焦点为
，
. 若以
为直径的圆内切于菱形
，切点分别为
. 则

（Ⅰ）双曲线的离心率
；

（Ⅱ）菱形
的面积
与矩形
的面积
的比值
.

（二）选考题（请考生在15、16两题中任选一题作答．如果全选，则按第15题作答结果计分）

15.（选修4—1：几何证明选讲）如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B、C两点，D是OC的中点，连接AD并延长交⊙O于点E．若PA＝2，∠APB＝30°，则AE＝________．

16.（选修4—4：坐标系与参数方程）设
分别为直线
（
为参数）和曲线
：
上的点，则
的最小值为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）已知向量
，

，函数
的图象与直线
的相邻两个交点之间的距离为
．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求函数
在
上的单调递增区间．

（本小题满分12分）在公差为
的等差数列
中，已知
，且
成等比数列。

求
;

若
，求

19．（本小题满分12分）如图，四棱锥
中，底面
为平行四边形，
，
，
，
底面
.

（1）证明：
；

（2）若
，求二面角
的余弦值．

20．（本小题满分12分） 设袋子中装有
个红球,
个黄球,
个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球2分,取出蓝球得3分.

(1)当
时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量
为取出此2球所得分数之和,.求
分布列;

(2)从该袋子中任取(且每球取到的机会均等)1个球,记随机变量
为取出此球所得分数.若
,求

21.（本小题满分13分）已知圆
，定点A（2，0），M为圆C上一动点，点P在AM上，点N在C、M上（C为圆心），且满足
，设点N的轨迹为曲线E．

（1）求曲线E的方程；

（2）过点B（m，0）作倾斜角为
的直线
交曲线E于C、D两点．若点Q（1，0）恰在以线段CD为直径的圆的内部，求实数m的取值范围．

22．（本小题满分14分）（本小题满分14分）

已知函数
在点
处的切线与
轴平行．

（I）求实数
的值及
的极值；

（II）是否存在区间
，使函数
在此区间上存在极值和零点？若存在，求实数
的取值范围，若不存在，请说明理由；

（III）如果对任意的
，有
，求实数
的取值范围．

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



A

D

B

D

C

C

C

A

B

C



11.
12.
13.
;70

14.

15  16.

17. （Ⅰ）
1分

5分

由题意，
，
6分

（Ⅱ）
，

时，

故
或
时，
单调递增 9分

即
的单调增区间为
和
12分

18.

解：（1）证明：因为
，
，

由余弦定理得
. .............（2分）

从而
，故
. .............（3分）

面
面
，
............（4分）

又

所以
平面
. .............（5分）

故
. .............（6分）

（2）如图，以D为坐标原点，射线DA，DB，DP分别为x,y,z的正半轴建立空间直角坐标系D－xyz， 则
．

，
.........（8分）

设平面PAB的法向量为
，

则

即

因此可取
． .............（10分）

设平面PBC的法向量为
，则

可取
...............（12分）

则

故钝二面角A－PB－C的余弦值为－.

20.解:(Ⅰ)由已知得到:当两次摸到的球分别是红红时
,此时
;当两次摸到的球分别是黄黄,红蓝,蓝红时
,此时
;当两次摸到的球分别是红黄,黄红时
,此时
;当两次摸到的球分别是黄蓝,蓝黄时
,此时
;当两次摸到的球分别是蓝蓝时
,此时
;所以
的分布列是:

2

3

4

5

6



P













(Ⅱ)由已知得到:
有三种取值即1,2,3,所以
的分布列是:

1

2

3



P









所以:
,所以
.

解：（1）由
知
为
的中垂线

的轨迹是椭圆，
，

的轨迹方程是
………（6分）

（2）由题意：l的方程
，设C（
），D（
）

由

，整理得：
。。。。。。8分

，

又点Q（1,0）在以线段CD为直径的圆内，得
。。。。。。。10分

满足条件的m的取值范围
。。。。。。。13分

21. 解： (I)
……………1分

∵
在点
处的切线与
轴平行∴

∴
∴
， ……………2分

当
时，
当
时

∴
在
上单调递增，在
单调递减，

故
在
处取得极大值1，无极小值 ………………………5分

(Ⅱ)

时，
，

当
时，
，由(I)得
在
上单调递增，∴由零点存在原理，
在区间
存在唯一零点，

函数
的图象如图所示 ……………7分

函数
在区间
上存在极值和零点

∴存在符号条件的区间，实数
的取值范围为
……………9分

（III）由(I)的结论知，
在
上单调递减，不妨