2015年新疆乌鲁木齐市高考数学一诊试卷（文科）

一.选择题

1．（3分）（2015?乌鲁木齐模拟）已知集合M={x|x≤0}，N={﹣2，0，1}，则M∩N=（　　）

　 A． {x|x≤0} B． {﹣2，0} C． {x|﹣2≤x≤0} D． {0，1}

【考点】： 交集及其运算．

【专题】： 集合．

【分析】： 由M与N，找出两集合的交集即可．

【解析】： 解：∵M={x|x≤0}，N={﹣2，0，1}，

∴M∩N={﹣2，0}，

故选：B．

【点评】： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

2．（3分）（2015?乌鲁木齐模拟）在复平面内，复数
对应的点位于（　　）

　 A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限

【考点】： 复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．

【专题】： 计算题．

【分析】： 先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母变成一个实数，分子进行复数的乘法运算，整理成复数的标准形式，写出对应点的坐标，看出所在的象限．

【解析】： 解：∵复数
=
=
=
，

∴复数对应的点的坐标是（
）

∴复数
在复平面内对应的点位于第二象限，

故选B．

【点评】： 本题考查复数的实部和虚部的符号，是一个概念题，在解题时用到复数的加减乘除运算，是一个比较好的选择或填空题，可能出现在高考题的前几个题目中．

3．（3分）（2015?乌鲁木齐模拟）设函数f（x）满足f（sinα+cosα）=sinαcosα，则f（0）=（　　）

　 A． ﹣
B． 0 C．
D． 1

【考点】： 同角三角函数基本关系的运用；函数解析式的求解及常用方法．

【专题】： 三角函数的求值．

【分析】： 本题主要是利用同角的三角函数的基本关系，根据sinα+cosα与sinαcosα的关系，即（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα进行求解即可．

【解析】： 解：∵f（sinα+cosα）=sinαcosα，

∴sinα+cosα=0?（sinα+cosα）2=0?sinαcosα=﹣

即f（0）=﹣
．

故选：A．

【点评】： 本题考查了函数的值，但阶梯的关键在于利用同角的三角函数的基本关系进行求解，属于基础题．

4．（3分）（2015?乌鲁木齐模拟）“?x∈R，ex﹣2＞m”是“log2m2＞1”的（　　）

　 A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件

　 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件

【考点】： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【专题】： 简易逻辑．

【分析】： 根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

【解析】： 解：若ex﹣2＞m，则m＜﹣2，m2＞4，则log2m2＞2，故log2m2＞1成立，

若log2m2＞1则m2＞2，则m＞
或m＜﹣
，则ex﹣2＞m不一定成立，

故“?x∈R，ex﹣2＞m”是“log2m2＞1”充分不必要条件，

故选：A

【点评】： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质求出对应的等价条件是解决本题的关键．

5．（3分）（2015?乌鲁木齐模拟）将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜
）的图象向左平移
个单位后的图形关于原点对称，则函数f（x）在上的最小值为（　　）

　 A．
B．
C． ﹣
D． ﹣

【考点】： 正弦函数的图象．

【专题】： 三角函数的图像与性质．

【分析】： 由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得
+φ=kπ，k∈z，由此根据|φ|＜
求得φ的值．

【解析】： 解：函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜
）的图象向左平移
个单位后，得到函数y=sin=sin（2x+
+φ）的图象，

再根据所得图象关于原点对称，可得
+φ=kπ，k∈z，

∴φ=﹣
，f（x）=sin（2x﹣
），

由题意x∈，得2x﹣
∈，

∴sin（2x﹣
）∈

∴函数y=sin（2x﹣
）在区间的最小值为﹣
．

故选：D．

【点评】： 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，考查了正弦函数最值的求法，解题的关键是熟练掌握正弦函数的性质，能根据正弦函数的性质求最值，属于基础题．

6．（3分）（2015?乌鲁木齐模拟）一个几何体的三视图及部分数据如图所示，侧视图为等腰三角形，俯视图为正方形，则这个几何体的体积为（　　）

　 A．
B．
C． 1 D．

【考点】： 由三视图求面积、体积．

【专题】： 空间位置关系与距离．

【分析】： 由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，分别求出底面面积和高，代入锥体体积公式，可得答案．

【解析】： 解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，

棱锥的底面面积S=
×1×1=
，

棱锥的高h=2，

故棱锥的体积V=
=
，

故选：A

【点评】： 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．

7．（3分）（2015?乌鲁木齐模拟）从1，2，3，4，5这五个数中，随机取出两个数字，剩下三个数字的和是奇数的概率是（　　）

　 A． 0.3 B． 0.4 C． 0.5 D． 0.6

【考点】： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率．

【专题】： 计算题；概率与统计．

【分析】： 根据题意，先计算从5个数字中选2个的情况数目，进而分析可得若剩下三个数字的和是奇数，即取出的两个数为两个偶数，或两个奇数；由组合数公式可得其情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案．

【解析】： 解：根据题意，从5个数字中选2个，共有C52=10种情况，

满足条件的是剩下三个数字的和是奇数，即取出的两个数为两个偶数，或两个奇数；

有C32+1=4种结果，

故剩下两个数字的和是奇数的概率是P=
=0.4．

故选：B．

【点评】： 本题考查利用排列、组合公式计算等可能事件的概率，注意“剩下三个数字和是奇数”与“取出的两个数为两个偶数，或两个奇数”是等价的，属于基本知识的考查．

8．（3分）（2015?乌鲁木齐模拟）设{an}是公差不为零的等差数列，a2=2，且a1，a3，a9成等比数列，则数列{an}的前n项和Sn=（　　）

　 A．
+
B．
+
C．
+
D．
+

【考点】： 等比数列的性质．

【专题】： 等差数列与等比数列．

【分析】： 设出等差数列的公差，由已知结合a1，a3，a9成等比数列求得公差，进一步求得首项，代入等差数列的前n项和得答案．

【解析】： 解：设等差数列{an}的公差为d（d≠0），

由a2=2，且a1，a3，a9成等比数列，得

（2+d）2=（2﹣d）（2+7d），解得d=1．

∴a1=a2﹣d=2﹣1=1．

∴
=
．

故选：D．

【点评】： 本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，考查了等比数列的性质，是基础题．

9．（3分）（2015?乌鲁木齐模拟）执行如图程序在平面直角坐标系上打印一系列点，则打出的点在圆x2+y2=10内的个数是（　　）

　 A． 2 B． 3 C． 4 D． 5

【考点】： 程序框图．

【专题】： 算法和程序框图．

【分析】： 根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是打印满足条件的点，执行程序不难得到所有打印的点的坐标，再判断点与圆x2+y2=10的位置关系，即可得到答案．

【解析】： 解：根据流程图所示的顺序，该程序的作用是打印如下点：

（1，1）、（2，
）、（3，
）、（4，
）、（5，
））、（6，
）

其中（1，1）、（2，
）、（3，
）满足x2+y2＜10，

即在圆x2+y2=10内，

故打印的点在圆x2+y2=10内的共有3个，

故选：B．

【点评】： 根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）?②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型?③解模．

10．（3分）（2015?乌鲁木齐模拟）若双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=1相离，则其离心率e的取值范围是（　　）

　 A． e＞1 B． e＞
C． e＞
D． e＞

【考点】： 双曲线的简单性质．

【专题】： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】： 先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离大于半径求得a和b的关系，进而利用c2=a2+b2求得a和c的关系，则双曲线的离心率可求．

【解析】： 解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆（x﹣2）2+y2=1相离，

∴圆心到渐近线的距离大于半径，即
＞1

∴3b2＞a2，

∴c2=a2+b2＞
a2，

∴e=
＞
．

故选：C．

【点评】： 本题主要考查了双曲线的简单性质，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式等．考查了学生数形结合的思想的运用．

11．（3分）（2015?乌鲁木齐模拟）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于A，B，交其准线于点C，若
=﹣2
，|
|=3，则抛物线的方程为（　　）

　 A． y2=12x B． y2=9x C． y2=6x D． y2=3x

【考点】： 抛物线的简单性质．

【专题】： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】： 根据过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，作AM、BN垂直准线于点M、N，根据|BC|=2|BF|，且|AF|=3，和抛物线的定义，可得∠NCB=30°，设A（x1，y1），B（x2，y2），|BF|=x，而x1+
=3，x2+
=1，且x1x2=
，可得（3﹣
）（1﹣
）=
，即可求得p的值，抛物线的方程．

【解析】： 解：设A（x1，y1），B（x2，y2），作AM、BN垂直准线于点M、N，则|BN|=|BF|，

又|BC|=2|BF|，得|BC|=2|BN|，

∴∠NCB=30°，

有|AC|=2|AM|=6，

设|BF|=x，则2x+x+3=6?x=1，

而x1+
=3，x2+
=1，且x1x2=
，

∴（3﹣
）（1﹣
）=
，

∴p=
，

得y2=3x．

故选：D．

【点评】： 此题是个中档题．考查抛物线的定义以及待定系数法求抛物线的标准方程．体现了数形结合的思想，特别是解析几何，一定注意对几何图形的研究，以便简化计算．

12．（3分）（2015?乌鲁木齐模拟）设数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+Sn=1，则Sn的取值范围是（　　）

　 A． （0，1） B． （0，+∞） C．

①当0＜a＜1时，a2﹣1＜0，a﹣a2＞0，

当0≤x＜a时，x4﹣（a2﹣1）x2+a﹣a2＞0，即g′（x）≥0，

则函数g（x）在[0，a）上为增函数，

∴g（x）≥g（0）=0，即此时f（x）≥2x+
，成立．

②当a＞1时，a2﹣1＞0，a﹣a2＜0

∴0
时，x2﹣（a2﹣1）＜0，

从而x4﹣（a2﹣1）x2+a﹣a2＜0，即g′（x）＜0，

即函数g（x）在（0，
）上为减函数，

∴当0＜x＜
时，g（x）＜g（0）=0，与题意不符，

综上当x≥0时，f（x）≥2x+
时．a的取值范围是0＜a＜1．

【点评】： 本题主要考查导数的综合应用，利用导数的几何意义以及构造函数是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．

22．（12分）（2015?乌鲁木齐模拟）过以AB为直径的圆上C点作直线交圆于E点，交AB延长线于D点，过C点作圆的切线交AD于F点，交AE延长线于G点，且GA=GF．

（Ⅰ）求证CA=CD；

（Ⅱ）设H为AD的中点，求证BH?BA=BF?BD．

【考点】： 与圆有关的比例线段．

【专题】： 立体几何．

【分析】： （I）由于GF是圆的切线，可得∠CGE=∠GAC，可得∠DCF=∠GAC．由GA=GF，可得∠GAF=∠AFG．再利用三角形的外角定理即可证明．

（II）连接CH，CB．由CA=CB，AB=BD．可得CH⊥AD．利用射影定理可得CB2=BH?BA．利用△BCF∽△BDC．可得
，即可证明．

【解析】： （I）解：∵GF是圆的切线，∴∠CGE=∠GAC，

又∵∠CGE=∠DCF，

∴∠DCF=∠GAC．

∵GA=GF，

∴∠GAF=∠AFG．

又∠GAF=∠GAC+∠CAF，∠AFG=∠D+∠DCF，

∴∠CAF=∠D．

∴CA=CD．

（II）证明：连接CH，CB．

∵CA=CB，AB=BD．

∴CH⊥AD．

由AB为圆的直径，∴∠ACB=90°，

∴CB2=BH?BA．

∵∠BCF=∠CAB=∠D，

∴△BCF∽△BDC．

∴
，

∴BC2=BF?BD，

∴BH?BA=BF?BD．

【点评】： 本题考查了三角形的外角定理、圆的弦切角定理、圆的性质、等腰三角形的性质、射影定理、三角形相似的性质定理，考查了推理能力，属于中档题．

23．（12分）（2015?乌鲁木齐模拟）在平面直角坐标系xOy中，P是直线2x+2y﹣1=0上的一点，Q是射线OP上的一点，满足|OP|?|OQ|=1．

（Ⅰ）求Q点的轨迹；

（Ⅱ）设点M（x，y）是（Ⅰ）中轨迹上任意一点，求x+7y的最大值．

【考点】： 简单曲线的极坐标方程；轨迹方程．

【专题】： 计算题；坐标系和参数方程．

【分析】： （Ⅰ）设射线OP的极坐标方程为ρ=
，依题意可知，动点Q的极坐标为（ρ，θ），P（ρ′，a），由|OP|?|OQ|=1，可得ρ′?ρ=1，即可求出Q点的轨迹；

（Ⅱ）设M（1+
cosα，1+
sinα），可得x+7y=1+
cosα+7+7
sinα=8+10sin（α+γ），即可求x+7y的最大值．

【解析】： 解：（Ⅰ）设射线OP的极坐标方程为ρ=
，

依题意可知，动点Q的极坐标为（ρ，θ），P（ρ′，a），由|OP|?|OQ|=1，可得ρ′?ρ=1．

∴ρ=
=2cosθ+2sinθ，

∴ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ，

∴x2+y2=2x+2y，

∴（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，

∴Q点的轨迹是以（1，1）为圆心，
为半径的圆；

（Ⅱ）设M（1+
cosα，1+
sinα），

∴x+7y=1+
cosα+7+7
sinα=8+10sin（α+γ），

∴x+7y的最大值为18．

【点评】： 本题考查极坐标与参数方程，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，比较基础．

24．（12分）（2015?乌鲁木齐模拟）设函数f（x）=|x﹣a|，a＜0．

（Ⅰ）证明f（x）+f（﹣
）≥2；

（Ⅱ）若不等式f（x）+f（2x）＜
的解集非空，求a的取值范围．

【考点】： 绝对值不等式的解法；其他不等式的解法．

【专题】： 计算题；分类讨论；不等式的解法及应用．

【分析】： （Ⅰ）运用绝对值不等式的性质和基本不等式，即可得证；

（Ⅱ）通过对x的范围的分类讨论去掉绝对值符号，转化为一次不等式，求得（f（x）+f（2x））min即可．

【解析】： （Ⅰ）证明：函数f（x）=|x﹣a|，a＜0，

则f（x）+f（﹣
）=|x﹣a|+|﹣
﹣a|

=|x﹣a|+|
+a|≥|（x﹣a）+（
+a）|

=|x+
|=|x|+
≥2
=2．

（Ⅱ）解：f（x）+f（2x）=|x﹣a|+|2x﹣a|，a＜0．

当x≤a时，f（x）=a﹣x+a﹣2x=2a﹣3x，则f（x）≥﹣a；

当a＜x＜
时，f（x）=x﹣a+a﹣2x=﹣x，则﹣
＜f（x）＜﹣a；

当x
时，f（x）=x﹣a+2x﹣a=3x﹣2a，则f（x）≥﹣
．

则f（x）的值域为[﹣
，+∞），

不等式f（x）+f（2x）＜
的解集非空，即为

＞﹣
，解得，a＞﹣1，由于a＜0，

则a的取值范围是（﹣1，0）．

【点评】： 本题考查绝对值不等式的解法，通过对x的范围的分类讨论去掉绝对值符号是关键，考查不等式恒成立问题转化为求最值问题，考查分类讨论思想，属于中档题．

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