2015年汕头市普通高考第一次模拟考试试题理科数学

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、若为虚数单位，则
的值为（ ）

A．
B． C．
D．

2、若全集
，
，
，则集合
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

3、若双曲线的标准方程为
，则它的渐近线方程为（ ）

A．
B．
C．
D．

4、已知命题

，
，命题

，
，则（ ）

A．命题
是假命题 B．命题
是真命题

C．命题
是真命题 D．命题
是假命题

5、在
中，角，，
的对边分别为，
，，且
，
，
，则的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

6、设，
，为平面，，为直线，则
的一个充分条件是（ ）

A．
，
，
B．
，
，

C．
，
，
D．
，
，

7、已知等差数列
的前项和为
，又知
，且
，
，则
为（ ）

A．
B．
C．
D．

8、气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续
天的日平均温度均不低于

”．现有甲、乙、丙三地连续
天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：

①甲地：
个数据的中位数为
，众数为
；

②乙地：
个数据的中位数为
，总体均值为
；

③丙地：
个数据中有一个数据是
，总体均值为
，总体方差为
．

则肯定进入夏季的地区有（ ）

A．①②③ B．①③ C．②③ D．①

二、填空题（本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）

（一）必做题（9～13题）

9、把二进制数
化为十进制数，结果为 ．

10、设空间向量
，
，且
，则
，
．

11、二项展开式
中，含
项的系数为 ．

12、一元二次不等式
的解集为
，则一元一次不等式
的解集为 ．

13、已知实数，满足
，若目标函数
的最大值为
，最小值为
，则实数的取值范围是 ．

（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）

14、（坐标系与参数方程选做题）曲线

（为参数），若以点
为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是 ．

15、（几何证明选讲选做题）如图，
是
的高，
是
外接圆的直径，若
，则
．

三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）

16、（本小题满分12分）已知函数
．

求
的值；

判断并证明函数
的奇偶性；

设为第四象限的角，且
，求
的值．

17、（本小题满分12分）某中学一名数学老师对全班
名学生某次考试成绩分男女生进行了统计（满分
分），其中
分（含
分）以上为优秀，绘制了如下的两个频率分布直方图：

根据以上两个直方图完成下面的
列联表：

根据
中表格的数据计算，你有多大把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系？

若从成绩在
的学生中任取人，求取到的人中至少有名女生的概率．

18、（本小题满分14分）已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其中正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．

求证：
平面
；

设
为直线
与平面
所成的角，求
的值；

设
为
中点，在
边上求一点，使
平面
，求
的值．

19、（本小题满分14分）在平面直角坐标系
中，已知动点到两个定点
，
的距离的和为定值．

求点运动所成轨迹
的方程；

设
为坐标原点，若点在轨迹
上，点在直线
上，且
，试判断直线
与圆
的位置关系，并证明你的结论．

20、（本小题满分14分）已知
是数列
的前项和，且满足
（
，
），又已知
，
，
，
，，
．

计算
，
，并求数列
的通项公式；

若
，
为数列
的前项和，求证：
．

21、（本小题满分14分）设函数
（
）．

当
时，求过点
且与曲线
相切的切线方程；

求函数
的单调递增区间；

若函数
有两个极值点，
，且
，记
表示不大于的最大整数，试比较
与
的大小．

2015年汕头市普通高考第一次模拟考试试题

理科数学参考答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

C

D

A

C

A

D

C

B



二、填空题（本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）

（一）必做题（9～13题）

9、
10、

11、
12、
13、

（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题，两题都做记第一题的得分）

14、
15、

三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）

16、解：（1）
……(3分)

（2）函数
是非奇非偶函数（既不是奇函数也不是偶函数）……(4分)

取
，则

显然
，

所以函数
是非奇非偶函数。（否定一件事情，最好用特殊值法）……(6分)

为第四象限的角

……(10分)

……(12分)

17、解：(1)

成绩性别

优秀

不优秀

总计



男生

13

10

23



女生

7

20

27



总计

20

30

50



-----------------（4分）

(2)由(1)中表格的数据知， K2＝
≈4.844. ---------（6分）

∵K2≈4.844≥3.841，∴有95%的把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系．-----（8分）

（3）成绩在
的学生中男生
人，

女生有
人，--------------（9分）

从6名学生中任取人，共有
种选法，

若选取的都是男生，共有
种选法；--------------------（10分）

故所求事件的概率
.-------------------------（12分）

【知识点】频率分布直方图；×列联表；独立性检验的基本思想；排列组合；概率.

18．解：（1）证明∵该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，

俯视图为直角梯形，∴
两两垂直。

且
, ……………（3分）

以BA，BB1 ，BC分别为
轴建立空间直角坐标系，如图

则N（4,4,0），B1（0, 8,0），C1（0,8,4），C（0,0,4）

∵
=（4,4,0）·（-4,4,0）=-16+16=0

=（4,4,0）·（0,0,4）=0

∴BN⊥NB1，BN⊥B1C1且NB1与B1C1相交于B1，

∴BN⊥平面C1B1N； -----------------（5分）

（2）设
为平面
的一个法向量，

则

则
-----------------（9分）

（3）∵M（2,0,0）．设P(0,0,a)为BC上一点,

则
, ∵MP//平面CNB1,

∴

又
,

∴当PB=1时MP//平面CNB1
----------（14分）

19、解：（1）由题意知：
……(1分)

所以，由椭圆的定义可知：动点运动的轨迹是: 以
，
为焦点，长轴长为4，焦距为
的椭圆，且短半轴长为

所以轨迹
的方程为
……(4分)

（2）直线
与圆
相切。……(5分)

证明如下：设点
，
，显然其中
,

因为
，所以
，即
，所以
……(6分)

①当直线
的斜率不存在时，即
时，
，代入椭圆方程可得：

，解得：
，

此时直线
的方程为
或
，显然与圆
相切。……(8分)

②当直线
的斜率存在，即
时，直线
的方程为：

，即
……(9分)

此时，圆心