北京市海淀区2015届高三4月期中练习（一模）

数学理试题

一、选择题

设集合
，
则
（ ）

.

.

.

.

抛物线
上的点到其焦点的最短距离为（ ）

.

.

.

.

3、已知向量
和向量
的夹角为
，
，则
（ ）

.

.

.

.

是“角
是第一象限的角的（ ）

. 充分而不必要条件
. 必要而不充分条件
.充分必要条件
.既不充分也不必要条件

圆
（
为参数）被直线
截得的劣弧长为（ ）

.

.

.

.

6、若
满足
，则下列不等式恒成立的是（ ）

.

.

.

.

7、某三棱锥的正视图如图所示，则这个三棱锥的俯视图不可能是（ ）

某地区在六年内第
年的生产总值
（单位：亿元）与
之间的关系如图所示，则下列四个时段中，生产

总值的年平均增长率最高的是（ ）

. 第一年到第三年

. 第二年到第四年

. 第三年到第五年

. 第四年到第六年

二、填空题

9、已知
，其中
为虚数单位，那么实数

10、执行如图所示的程序框图，输出的
的职位

11、已知
是等差数列，

那么
=
的最大值为

12、在
中，若

则
的大小为

13、社区主任要为小红等4名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，

要求排成一排，小红必须与两位老人都相邻，

且两位老人不能排在两端，则不痛的排法种数是

14、设
，若存在实数
，使得函数
有两个零点，则
的取值范围

三、解答题

15、已知函数

（1）求
的最小正周期及其图像的对称轴方程；

（2）求
的单调减区间。

某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，

并按
分组，得到频率分布直方图如下：

假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立

写出频率分布直方图（甲）中
的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为

，试比较
的大小（只需写出结论）

（2）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率；

（3）设
表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，

求
的数学期望

如图1，在直角梯形
中，
四边形
是正方形，将正

方形
沿
折起到四边形
的位置，使平面

平面
，
为
的中点，如图2.

（1）求证：

(2) 求
与平面
所成角的正弦值；

（3）判断直线
与
的位置关系

已知函数

（1）求函数
的单调区间

（2）若
（其中
），求
的取值范围，并说明
。

已知椭圆
过点
，且离心率
.

(1)求椭圆
的方程

（2）是否存在菱形
,同时满足下列三个条件：

(点
在直线
上；

(点
在椭圆
上；

(直线
的斜率等于1.

如果存在，求出点
的坐标；如果不存在，说明理由。

20、（14分）有限数列
同时满足下列条件

①对于任意的

②对于任意的
三个数中至少有一个数是数列An中的项。

（I）若n＝4，且
，求a的值；

（II）证明：2，3，5不可能是数列An中的项；

（III）求n的最大值。

海淀区高三年级第二学期期中练习

数学（理）答案及评分参考标准 2015.4

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

（1）A （2）C （3）D （4）B

（5）A （6）D （7）C （8）A

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。有两空的小题，第一空2分，第二空3分）

（9）
（10）
（11）

（12）
或
（13）
（14）

三、解答题（共6小题，共80分）

（15）（共13分）

解：（Ⅰ）因为
………………2分

.

所以
. ………………4分

令
，得：
. ………………6分

所以
的最小正周期为
，对称轴的方程为
.

（Ⅱ）

. ………………9分

令
，

得：
.

所以
的单调递减区间为
. ………………13分

（16）（共13分）

解：（Ⅰ）
； ………………2分

. ………………4分

（Ⅱ）设事件
：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；

事件
：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；

事件
：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱. 则

，
. ………………6分

所以
. ………………8分

（Ⅲ）由题意可知，
的可能取值为0，1，2，3. ………………9分

，

，

，

.

所以
的分布列为

0

1

2

3





0.343

0.441

0.189

0.027



 ………………11分

所以
的数学期望
.

………………13分

另解：由题意可知
.

所以
的数学期望
. ………………13分

（17）（共14分）

证明：（Ⅰ）证明：因为 四边形
为正方形，

所以
.

因为 平面
平面
，平面
平面
，
平面
，

所以
平面
. ………………2分

因为
平面
，

所以
. ………………4分

（Ⅱ）解：如图，以点
为坐标原点，分别以
所在的直线为
轴，建立如图所示的空间直角坐标系
.

设
，则
.

所以
，
，
. ………………6分

设平面
的一个法向量为
.

由
得

令
，得
，所以
. ………………8分

设
与平面
所成角为
，

则