丰台区2014—2015学年度第二学期统一练习（一）高三数学（文科）

第一部分 （选择题 共40分）

选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1. 设集合U={1，2，3，4，5，6}， A={x∈N∣1≤x≤3}，则
=

(A) U

(B) {1，2，3}

(C) {4，5，6}

(D) {1，3，4，5，6}



2.下列函数中，在区间
上存在最小值的是

(A)

(B)

(C)

(D)



3. 已知a，b是两条不同的直线，α是一个平面，且bα，那么“a⊥b”是“a⊥α”的

(A) 充分不必要条件

(B) 必要不充分条件



(C) 充分必要条件

(D) 既不充分也不必要条件



4．当n=5时，执行如图所示的程序框图，输出的S值是

(A) 7

(B)10

(C) 11

(D) 16






5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

(A) 48

(B) 32

(C) 16

(D)



6．将函数
的图象向右平移
个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是

(A)

(B)



(C)

(D)



7．已知奇函数
如果

且
对应的图象如图所示，那么

(A)

(B)



(C)

(D)



8．在正方体
中，为底面
上一动点，如果到点
的距离等于到直线
的距离，那么点的轨迹所在的曲线是

(A) 直线

(B)圆

(C) 抛物线

(D) 椭圆





第二部分 （非选择题 共110分）

一、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9．复数
= ．

10．双曲线
的渐近线方程为 ．

11．若变量x，y满足约束条件
则
的最大值是 ．

12．在平面直角坐标系
中，点
，
，
，则
= ；若
∥
， 则
= ______．

13．某中学共有女生2000人，为了了解学生体质健康状况，随机抽取100名女生进行体质监测，将她们的体重（单位：kg）数据加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，则直方图中x的值为 ；试估计该校体重在
的女生有 人．

14．已知平面上的点集及点，在集合内任取一点
，线段
长度的最小值称为点到集合的距离，记作
．如果集合
，点的坐标为
，那么
；如果点集所表示的图形是半径为2的圆，那么点集
所表示的图形的面积为 ．

二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15.（本小题共13分）

在△
中，内角，，
的对边分别为，
，，已知
，
，
．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求
的面积．

16.（本小题共13分）

已知等差数列
和等比数列
中，
，
，
．

（Ⅰ）求数列
和
的通项公式；

（Ⅱ）如果

，写出m，n的关系式
，并求
．

17.（本小题共13分）

某出租车公司响应国家节能减排的号召，已陆续购买了140辆纯电动汽车作为运营车辆，目前我国主流纯电动汽车按续驶里程数R（单位：公里）分为3类，即A：80≤R＜150，B：150≤R＜250，C：R≥250．对这140辆车的行驶总里程进行统计，结果如下表：

类型

A

B

C



已行驶总里程不超过5万公里的车辆数

10

40

30



已行驶总里程超过5万公里的车辆数

20

20

20



 （Ⅰ）从这140辆汽车中任取1辆，求该车行驶总里程超过5万公里的概率；

（Ⅱ）公司为了了解这些车的工作状况，决定抽取14辆车进行车况分析，按表中描述的六种情况进行分层抽样，设从C类车中抽取了n辆车．

（ⅰ）求n的值；

（ⅱ）如果从这n辆车中随机选取2辆车，求恰有1辆车行驶总里程超过5万公里的概率．

18.（本小题共14分）

如图，在三棱柱
中，侧棱
底面
，
为棱
中点.
，
，
．

（Ⅰ）求证：
//平面
；

（Ⅱ）求证：
平面
；

（Ⅲ）在棱
的上是否存在点
，使得平面
⊥平面
？如果存在，求此时
的值；如果不存在，说明理由．

19.（本小题共14分）

已知椭圆C：
的右焦点为F．

（Ⅰ）求点F的坐标和椭圆C的离心率；

（Ⅱ）直线l：

过点F，且与椭圆C交于，
两点，如果点关于轴的对称点为
，判断直线
是否经过轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由．

20.（本小题共13分）

已知函数
.

（Ⅰ）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）如果函数
在
上单调递减，求的取值范围；

（Ⅲ）当
时，讨论函数
零点的个数．

（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

丰台区2015年高三年级第二学期数学统一练习（一）

数 学（文科）参考答案

选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

C

A

B

C

B

A

D

A





一、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9．1-i 10．
11．6

12．
；
13．0.024；1000 14．2；

注：第12，13，14题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．

二、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15.（本小题共13分）

解：（Ⅰ）在
中，
，且
，

所以
．

因为
，且
，
，

所以
．

所以
． ……………………6分

（Ⅱ）因为
，

所以
，

所以
或
（舍）．

所以
． ……………………13分

16.（本小题共13分）

解：（Ⅰ）设等差数列
的公差为，等比数列
的公比为，则

．

解得
或
（舍）．

所以
，
． ……………………6分

（Ⅱ）因为
，

所以
，即
．

． ……………………13分

所以

．

17.（本小题共13分）

解：（Ⅰ）从这140辆汽车中任取1辆，则该车行驶总里程超过5万公里的概率为

． ……………………3分

（Ⅱ）（ⅰ）依题意
． ……………………6分

（ⅱ）5辆车中已行驶总里程不超过5万公里的车有3辆，记为A，B，C；

5辆车中已行驶总里程超过5万公里的车有2辆，记为M，N．

“从5辆车中随机选取2辆车”的所有选法共10种： AB，AC ，AM，AN，BC，BM，BN，CM，CN，MN．

“从5辆车中随机选取2辆车，恰有一辆车行驶里程超过5万公里”的选法共6种： AM，AN，BM，BN，CM，CN．

设“选取2辆车中恰有一辆车行驶里程超过5万公里”为事件D，

则
．

答：选取2辆车中恰有一辆车行驶里程超过5万公里的概率为
．…………………13分

18.（本小题共14分）

解：（Ⅰ）连结
交
于，连结
．

在
中，因为
，分别为
，
中点，

所以
//
．

又因为
平面
，
平面
，

所以
//平面
． ……………………4分

（Ⅱ）因为侧棱
底面
，
平面
，

所以
．

又因为
为棱
中点，
， 所以
．

因为
，所以
平面
．

所以
．

因为
为棱
中点，
，所以
．

又因为
，所以在
和
中，
．

所以
，即
．

所以
．

因为
，

所以
平面
． ……………………10分

（Ⅲ）当点
为
中点时，即
，平面
平面
．

设
中点为，连结
，
．

因为，
分别为
，
中点，

所以
//
，且
．

又因为
为
中点，

所以
//
，且
．

所以
//
，

因为
平面
，

所以
平面
．

又因为
平面
，所以平面
平面
． ……………………14分

19.（本小题共14分）

解: （Ⅰ）因为椭圆C：

所以焦点
，离心率
……………………4分

（Ⅱ）直线l：

过点F，所以
，所以l：
．

由
，得
（依题意
）．

设
，
，

则
，
．

因为点关于轴的对称点为
，则
．

所以，直线
的方程可以设为
，

令
，

．

所以直线
过轴上定点
． ……………………14分

20.（本小题共13分）

解：（Ⅰ）当
时，
，
，

所以
，
．

所以切线方程为
． ……………………3分

（Ⅱ）因为
在
上单调递减，

等价于
在
恒成立，

变形得

恒成立，

而

（当且仅当