宜昌市2015届高三年级第一次调研考试

数学（文科）

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1、已知集合
，集合
，则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

2、给出如下四个命题；

①若“
且
”为假命题，则
均为假命题；

②命题“若
，则
”的否命题为“若
，则
”

③“
”的否定是“
”

④在
中，“
”是“
”的充要条件。

A．①② B．②④ C．②③ D．①④

3、设
是首项为
，公差为-1的等差数列，
为前n项和，若
成等比数列，则
（ ）

A．2 B．-2 C．
D．

4、下列命题正确的是（ ）

A．直线
与平面
不平行，则
与平面
内的所有直线都不平行；

B．直线
与平面
不垂直，则
与平面
内的所有直线凑不垂直；

C．异面直线
不垂直，则过
的任何平面与
都不垂直；

D．直线
与
共面，直线
和
共面，则
和
共面。

5、变量
满足约束条件
，则目标函数
的最小值为（ ）

A．-7 B．-4 C．1 D．2

6、右图为一个几何体的侧视图这俯视图，若该几何体的体积为
，

则它的正视图为（ ）

7、在
中，内角
的对边分别为
，且
，则

A．
B．
C．
D．

8、如图，面积为8的平行四边形OABC，对角线AC
CO，AC与BO交于点E，

某函数
的图象经过点E、B，则
（ ）

A．
B．
C．2 D．3

9、设
是双曲线
的左右焦点，A是其右支上一点，连接
交双曲线左支于点B，若
，且
，则该双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

10、由无理数引发的数学危机已知延续到19世纪，知道1872年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”，才结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机，所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M
N=Q，M
N=
，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称
为戴德金分割，试判断，对于任一戴德金分割
，下列选项不可能成了的是（ ）

A．M没有最大元素，N有一个最小元素 B．M没有最大元素，N也没有最小元素

C．M有一个最大元素，N有一个最小元素 D．M有一个最大元素，N没有没有元素

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。.

（一）必考题（11-14题）

11、已知平面向量
，若
，则

12、已知
，则
的最小值是

13、如图，一桥梁的形状为抛物线，该抛物线拱的高为
，

宽为
，则该抛物线拱的面积为

14、若以曲线
上任意一点
为切点的切线
，曲线上总存在异于M的点
，以点N为切点作切线
，且
，则称曲线
具有“可平行性”，现由下列命题：

①偶函数的图象都具有“可平行性”；

②函数
的图象具有“可平行性”；

③三次函数
具有“可平行性”，且对应的两切点
，
的横坐标满足
；

④要使得分段函数
的图象具有“可平行性”，当且仅当实数
。

其中的命题是 （写出所有真命题的序号）

15、若抛物线
上一点到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则
的值

为

16、如图，两高速公路垂直相交于站A，若已知
千米，甲汽车从A站出发，沿AC方向过50千米/小时的速度行驶，同时乙汽车从B站出发，沿BA方向以
千米/小时的速度行驶，要A站即停止前行（甲车仍然行驶）（两车的车长忽略不计）

（1）甲乙两车的最近距离为 （用含
的式子表示）；

（2）若甲乙两车从开始行驶到甲乙两车相距最近时所用时同为
小时，则当
为 时
最大。

17、定义域为R的偶函数
满足对
，有
，且当
时，

若函数
在
上至少有三个零点，则
的取值范围是

三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

18、（本小题满分12分）

已知函数

（1）求函数
的单调增区间；

（2）在
中，
分别是角
的对边，已知
，求角C。

19、（本小题满分12分）

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，
BAD
，已知PB=PD=2PA=

（1）证明：PC
BD;

（2）若E为PA的中点，求三棱锥E-ABC的体积。

20、（本小题满分12分）

等差数列
的前n项和为
，已知
为整数，当且仅当
时，
取得最大值

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
，求数列
的前n项和

21、（本小题满分14分）

已知函数
过坐标原点，且在
处的切线方程为
。

（1）求
的解析式；

（2）设
，求
的最大值及相应的x的值；

（3）对于任意正数
，恒有
，求实数m的取值范围。

22、（本小题满分13分）

在平面直角坐标系
中，已知曲线
上任意一点到点
的距离之和为

（1）求曲线
的方程；

（2）设椭圆
，若斜率为
的直线OM交椭圆
于点M，垂直于OM的直线ON交曲线
于点N。

①求证：
的最小值为
；

②问：是否存在以过圆心且与直线MN相切的定圆？若存在，求出该定圆的方程；若不存在，请说明理由。

一、选择题： CBDCA ACBDC

二、填空题：

11.
； 12.
； 13.
； 14.
或
； 15.
或
；

16.( 1)
；（2）
千米/小时； 17.

注：第11题、14题、15题见错均为0分；第16题第一空2分，第二空3分。

三、解答题：

18．解：
4分

（1）由
得

∴函数
的单调递增区间为
6分

（2）

∵
∴
∴
即
8分

由正弦定理得

又
∴
∴
10分

故
12分

19. 解：（1）证明：连接
交于
点 1分

2分

又

是菱形

3分

而

⊥面
5分

⊥
6分

(2) 由（1）
⊥面
7分

9分

12分

20．解：（1）由题意知，
，
2分

即
4分

又
为整数 ∴
∴
∴
6分

故
7分

（2）
8分

两式相减得

∴
13分

注：第（1）题若直接由
得
扣2分！

21．解：（1）∵函数
过坐标原点，∴
，

∴
， 1分

由函数
在
处的切线方程为
知

且
3分

解得
，

∴
4分

（2）

∵
5分

∴当
时，
单调递增；当
时
单调递减。 6分

∴当
时，
有最大值，且
8分

（3）
时，不等式
恒成立， 9分

令
，则
10分

∴
12分

∴
14分

22．解：（1）由椭圆定义可知曲线
的轨迹是椭圆，设
的方程为

则
，
则
故
的方程为
3分

（2）①证明：当
时，
为
长轴端点，则
为
短轴端点，
4分

当