龙岩市非一级达标校2014-2015学年第一学期期末高三教学质量检查

数学（文科）试题

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、为虚数单位，则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

2、已知集合
，
，若
，则
为（ ）

A．
B．
C．
D．

3、函数
的零点个数为（ ）

A． B． C．
D．

4、设，
，那么“
”是“
”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5、执行右边的程序框图，若
，则输出的为（ ）

A． B．

C． D．

6、已知向量
，
，则
等于（ ）

A． B．

C．
D．

7、已知两条不同直线，，三个不同平面，
，，下列命题中正确是（ ）

A．若
，
，则
B．若
，
，则

C．若
，
，则
D．若
，
，则

8、在一次歌咏比赛中，七位裁判为以选手打出的分数如下：

去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ）

A．
，
B．
， C．
， D．
，

9、函数
在
上的图象是（ ）

A． B． C． D．

10、同时具有性质：“①最小正周期是；②图象关于点
对称；③在
上是减函数”的一个函数是（ ）

A．
B．

C．
D．

11、已知函数
，若对于任意
，都有
成立，则实数的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

12、过双曲线
（
，
）的一个焦点作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段
（
为坐标原点）的垂直平分线上，则双曲线的离心率为（ ）

A． B．
C．
D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）

13、已知函数
是定义域为的奇函数，那么
．

14、若不等式组
所表示的平面区域被直线
分为面积相等的两部分，则
的值是 ．

15、过原点且倾斜角为
的直线被圆
所截得的弦长为 ．

16、已知数列
是等差数列，若
，
，且数列
的前项和
有最大值，那么当
取得最大值时，等于 ．

三、解答题（本大题共6小题，满分74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17、（本小题满分12分）已知等比数列
的公比
，
，
，等差数列
中
，
，其中
．

求数列
，
的通项公式；

设数列
，求数列
的前项和
．

18、（本小题满分12分）在
中，角，，
所对的边分别为，
，，且满足
．

求角
的大小；

已知
，
的面积为
，求边长的值．

19、（本小题满分12分）某学校就一问题进行内部问卷调查．已知该学校有男学生
人，女学生
人，教师
人，用分层抽样的方法从中抽取
人进行问卷调查．问卷调查的问题设置为“同意”、“不同意”两种，且每人都做一种选择．下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息．

请完成此统计表；

根据此次调查，估计全校对这一问题持“同意”意见的人数；

从被调查的女学生中选取人进行访谈，求选到两名学生中恰有一人“同意”、一人“不同意”的概率．

20、（本小题满分12分）如图是图的三视图，三棱锥
中，，分别是棱
，
的中点．

求证：
平面
；

求三棱锥
的体积．

21、（本小题满分12分）已知椭圆
（
）的离心率为
，且经过点
．

求椭圆的标准方程；

设
关于轴的对称点为，已知为椭圆的上顶点，直线
，
分别交轴于点
，
，求
的值．

22、（本小题满分14分）

设
，
是函数
的两个极值点，且
，
且
．

当
时，求
的单调递减区间；

求证：
为定值；

求
的取值范围．

龙岩市非一级达标校2014～2015学年第一学期期末高三教学质量检查

数学（文科）参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1-5 DDABB 6-10 CDABC 11-12 BB

二、填空题（本大题共4小题,每小题4分，共16分）

13．1 14．1 15．
16．10

三、解答题（本大题共6小题，共74分）

17．命题意图：本题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式、裂项相消法求数列的前项和，考查运算求解能力和函数与方程思想.

解：（Ⅰ）已知等比数列
的公比
,
，

………………3分

等差数列
中
设公差为d

………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知数列
是以1为首项，2为公比的等比数列，数列
是以2为首项，2为公差的等差数列．

………………………8分

………………………12分

18．命题意图：本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式、同角三角函数的基本关系式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．

解：（1）在
中，由正弦定理得:
……2分

因为
，所以

从而
，又
……4分

所以
，所以
. ……6分

（2）在
中，
，得
……9分

由余弦定理得:

所以
. ……12分

19．命题意图：本题主要考查古典概型、分层抽样、列举法等数学知识，考查学生分析问题解决问题的能力. 考查运算求解能力，数据处理能力，应用意识函数与方程思想，分类与整合思想.

同意

不同意

合计



教师

1

1

2



女学生

2

4

6



男学生

3

2

5



解：（Ⅰ）

……………4分

（Ⅱ）
人 …………7分

（Ⅲ）设“同意”的两名学生编号为，，“不同意”的编号为1，2，3，4

选出两人共有（，），（，1），（，2），（，3），（，4），（，1），（，2），（，3），（，4），（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共15种结果， ……………9分

其中（，1），（，2），（，3），（，4），（，1），（，2），（，3），（，4）共8种结果满足题意. 每个结果出现的可能性相等，所以恰好有1人“同意”，一人“不同意”的概率为
. …………12分

20．命题意图：本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、三视图的概念及体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、化归与转化能力.

证明：（Ⅰ）
分别是
的中点

平面
,

平面

平面
……………………4分

（Ⅱ）∵如图1得
⊥
，
⊥
，
⊥

又∵
∩
=

∴
⊥平面
……………………8分

取
的中点
，连接

∵是
的中点

∴

∴
⊥平面

=

∴
………12分

21．命题意图：本题考查椭圆的方程及简单的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查运算求解和分析探究问题能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．

解：（Ⅰ）依题意得

又
①

因为
在椭圆上，
② ………………2分

联立①②解得

椭圆方程为
． …………………5分

（Ⅱ）
与
关于轴对称，
，

为椭圆上顶点
………………7分

直线
方程为
，令
，