龙岩市非一级达标校2014-2015学年第一学期期末高三教学质量检查

数学（理科）试题

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、已知
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2、把一个骰子连续抛掷两次，第一次得到的点数为，第二次得到的点数为
，则事件“
”的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

3、抛物线
的准线方程是（ ）

A．
B．

C．
D．

4、某几何体的三视图如图所示，它的体积为（ ）

A．
B．

C．
D．

5、甲、乙两位同学在高二
次月考的数学成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是
、
，则下列正确的是（ ）

A．
，甲比乙成绩稳定 B．
，乙比甲成绩稳定

C．
，甲比乙成绩稳定 D．
，乙比甲成绩稳定

6、阅读如右图所示的程序框图，则该算法的功能是（ ）

A．计算数列
前
项的和 B．计算数列
前
项的和

C．计算数列
前
项的和 D．计算数列
前
项的和

7、下列结论正确的是（ ）

A．命题“若
，则
”是真命题

B．若函数
可导，且在
处有极值，则

C．向量
，
的夹角为钝角的充要条件是

D．命题
“
，
”的否定是“
，
”

8、等差数列
的前项和为
，
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

9、已知函数
满足对任意
，都有
成立，则实数的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

10、若两条异面直线所成的角为
，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连结正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有（ ）

A．
对 B．
对 C．
对 D．
对

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）

11、已知随机变量
服从正态分布
，
，则
．

12、过双曲线
（
，
）的一个焦点作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段
（
为坐标原点）的垂直平分线上，则双曲线的离心率为 ．

13、某老师从课本上抄录一个随机变量
的概率分布列如下表：

请甲同学计算
的数学期望，尽管“
”处完全无法看清，且两个“
”处字迹模糊，但能断定这两个“
”处的数值相同，据此，该同学给出了正确答案
．

14、在
中，内角，，
的对边分别为，
，，且满足
，则
．

15、已知定义在区间
上的函数
的图象如图所示，对于满足
的任意
，
，给出下列结论：

①
；②
；

③
；④
．

其中正确结论的序号是 ．（把所有正确结论的序号都填上）

三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

16、（本小题满分13分）某同学用“五点法”画函数
在某一个周期的图象时，列表并填入的部分数据如下表：

求
，
，
的值及函数
的表达式；

将函数
的图象向左平移个单位，可得到函数
的图象，求函数
在区间
的最小值．

17、（本小题满分13分）已知椭圆

（
）的右焦点与抛物线
的焦点重合，且椭圆
的离心率
．

求椭圆
的标准方程；

若直线
（
）与椭圆
交于不同的两点，，以线段
为直径作圆
．若圆
与轴相切，求直线
被圆
所截得的弦长．

18、（本小题满分13分）我国东部某风景区内住着一个少数民族部落，该部落拟投资
万元用于修复和加强民俗文化基础设施．据测算，修复好部落民俗文化基础设施后，任何一个月（每月均按
天计算）中第天的游客人数
近似满足
（单位：千人），第天游客人均消费金额
近似满足
（单位：元）．

求该部落第天的日旅游收入
（单位：千元，
，
）的表达式；

若以一个月中最低日旅游收入金额的%作为每一天应回收的投资成本，试问该部落至少经过几年就可以收回全部投资成本．

19、（本小题满分13分）如图，在四棱锥
中，侧棱
底面
，
，
，
，
，
是棱
中点．

求证：
平面
；

设点是线段
上一动点，且
，当直线
与平面
所成的角最大时，求
的值．

20、（本小题满分14分）已知函数
（
）．

当
时，求函数
的图象在点
处的切线方程；

设
，求证：当
时，
；

若函数
恰有两个零点
，
（
），求实数的取值范围．

21、（本小题满分14分）

本题有
、
、
三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．

（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

已知线性变换把点
变成了点
，把点
变成了点
．

求变换所对应的矩阵
；

求直线
在变换的作用下所得到的直线方程．

（本小题满分7分）选修4-4：极坐标与参数方程

在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线
的极坐标方程为
（为常数），圆
的参数方程为
（为参数）．

求直线
的直角坐标方程和圆
的普通方程；

若圆心
关于直线
的对称点亦在圆上，求实数的值．

（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲

已知
（，，
）．

求
的最小值；

若
对满足条件的一切实数，，恒成立，求实数的取值范围．

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数学（理科）试题参考答案及评分标准

说明：

一、本解答指出了每题要考察的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准指定相应的评分细则.

二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.

一、选择题：本涂考察基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分.

1-5 CADBD 6-10 CBBBB

二、填空题：本题考察基础知识和基本运算，每小题4分，满分20分.

11．0.16 12．
13．3 14．
15．②③④

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由
可得 :
……2分

由
可得:

又

……6分

（Ⅱ）由
的图象向左平移个单位

得
的图象, ……8分

……10分

时,

……13分

注：若用
运算，请参照给分.

17.（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）因为抛物线
的焦点坐标为
，所以
………2分

又椭圆的离心率
，所以

所以椭圆方程为：
……5分

（Ⅱ）由题意知
，圆心
为线段
中点，且位于轴的正半轴，

故设
的坐标为

因为圆
与轴相切，不妨设点在第一象限，又
，所以

解得
……8分

圆心
,半径

圆
的方程为：
……10分

又圆心
到直线
的距离

所以，直线
被圆
所截得的弦长为：

………13分

18.（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）当
时，
……2分

当