2015年马鞍山市高中毕业班第二次教学质量检测

高三文科数学试题

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．

考生注意事项：

1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、姓名、班级、座号、准考证号．

2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．

3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效．

4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交．

第I卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应位置将正确结论的代号用2B铅笔涂黑．

（1）已知全集U＝Z，集合A＝{x|x2＝x}，B＝{－1，0，1，2}，则图中阴影部分所表示的集合为(　▲　)

A．{－1，2} B．{－1，0}

C．{0，1} D．{1，2}

【答案】A

（2）设
是虚数单位，则复数
(　▲　)．

A．
B．
C．
D．

【答案】A

（3）命题“
”的否定为(　▲　)

A．
B．

C．
D．

【答案】B

（4）如图所示，程序框图的输出结果为(　▲　)

A．4 B.5 C.6 D.7



【答案】B

（5）已知
是圆
上的三点，若
，则
与
的夹角为（ ▲ ）

A.
B.
C.
D.

【答案】D

（6）如图，网格纸上正方形小格的边长为
（表示
），图中粗线画出的是某零件的三视图，则该零件的表面积为（ ▲ ）

A.
B.

C.
D.

【答案】B

（7）圆
被直线
截得的劣弧长为( ▲ ) net]

A．
B．
C．
D．

【答案】C

（8）若随机事件
满足
，则事件
与
的关系是

A．互斥不对立 B．对立不互斥

C．互斥且对立 D．以上说法都不对

【答案】D

（9）已知平面区域
：
，则
的面积为( ▲ ) net]

A．
B．
C．
D．

【答案】B

（10）已知函数
，其中
，则下列关于
的说法正确的是( ▲ )

A．若函数
在区间
内只有一个零点，则必有

B．若函数
在区间
内有两个零点，则必有

C．若函数
在
上有两个零点

，则必有

D．若函数
在
上有两个零点

，则存在实数
，使得

【答案】C

第II卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请在答题卡上答题．

（11）已知直线
与抛物线
相切，则
.

【答案】

（12）已知等比数列
满足
，则
的最小值是 .

【答案】
，由条件知
，

（13）已知函数
，则
.

【答案】
，
．

（14）若
的三边
和面积
满足
，则
.

【答案】

（15）对于函数
，给出下列结论：

①
为奇函数；

②
是
的一条对称轴；

③
是
的一个周期；

④
在
上为增函数；

⑤
的值域为
．

其中正确的结论是 ▲ （写出所有正确结论的序号）．

【答案】①③④

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（16）（本小题满分12分）

已知
的面积为2，且满足
．设
和
的夹角为
.

（Ⅰ）求
的取值范围；

（Ⅱ）求函数
的最值．

（16）【解】（Ⅰ）设ΔABC中，角A、B、C的对边分别为 a、b、c，

则由已知：
，
，………………………………………4分

可得，
………………………………………………………………………6分

（Ⅱ）

……10分

由（Ⅰ），
，∴
，∴

即
，
…………………………………………………12分

（17）（本小题满分12分）

某校拟调研学生的身高与运动量之间的关系，从高二男生中随机抽取100名学生的身高数据，得到如下频率分布表：

组号

分组

频数

频率



第1组

[160，165)

10

0.100



第2组

[165，170)

①

0.150



第3组

[170，175)

30

②



第4组

[175，180)

25

0.250



第5组

[180，185)

20

0.200



合计

100

1.00





（Ⅰ）求频率分布表中①、②位置相应的数据，并完成频率分布直方图；

（Ⅱ）为了对比研究学生运动量与身高的关系，学校计划采用分层抽样的方法从第2、5组中随机抽取7名学生进行跟踪调研，求第2、5组每组抽取的学生数？

（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，学校决定从这7名学生中随机抽取2名学生接受调研访谈，求至少有1名学生来自第5组的概率？

【命题意图】本题考查频率分布表，分层抽样， 古典概型，简单题

（17）【解】（Ⅰ）由题可知，

第2组的频数为
（人）…1分

第3组的频率为
……………2分

频率分布直方图如右: ……………5分

（Ⅱ）因为第2、5组共有35名学生，所以利用分层抽样在35名学生中抽取7名学生，每组分别为:

第3组:
(人) …………………6分

第5组:
(人) …………………7分

所以第2、5组分别抽取3人、4人．

（Ⅲ）设第2组的3位同学为
，第5组的4位同学为
，

则从7位同学中抽2位同学有21种可能情况：

……………………………10分

其中第5组的4位同学
中至少有一位同学入选的有18种，故至少有1名学生来自第5组的概率为：
…………………12分

（18）（本小题满分12分）

如图，多面体
中，底面
为正方形，

平面
，
∥
，
分别是

的中点，
，

（Ⅰ）证明：
∥平面
；

（Ⅱ）求多面体
的体积．

【命题意图】本题考查线面平行，体积计算，中等题．

（18）【解】（Ⅰ）证明：连AC，BD，设AC，BD交于点O，连OH，OG．

∵四边形
为正方形，∴
，

又∵
分别是
的中点，

∴
………………………4分

∴平面
∥平面
，∵
平面

∴证明
∥平面
……………………6分

（Ⅱ）∵
正方形
，∴
，

又
，所以
平面

所以

．

（19）（本小题满分13分）设数列
的前
项的和
.

（Ⅰ）求
的通项公式；

（Ⅱ）设
，求数列
前
项的和
.

【命题意图】本题考查等差数列，等比数列，分组求和，中等题．

（19）【解】（Ⅰ）
（
）………………………3分

又
时，
，符合上式 ……………………………………………4分

故
……………………………………………………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知:

………………8分

设

当
为偶数时，
，

此时
………………………………………………………11分

当
为奇数时，

，

此时
…………………………………13分

（20）（本小题满分13分）

已知函数
，其中
．

（Ⅰ）讨论函数
在其定义域上的单调性；

（Ⅱ）当
时，若存在
，使得
，求实数
的取值范围．

【命题意图】本题考查导数的应用，中等题．

（20）【解】
，…………………………………………………2分

（Ⅰ）（1）若
，对
均有
，

故
为其定义域上的单调递增函数；…………………………………………3分

（2）若
，当
时，
；

当
时，
；

故
在
内单调递增，在
内单调递减．…………………………4分

（Ⅱ）由
，
，即存在
使
，

从而只需存在
，使
，

其等价于
时，
．………………………………………………7分

由（Ⅰ）知：

①当
，即
时，
在
上单调递增，

由
，解得
，

故
；……………………………………………………………………9分

②当
，即
时，
在
上单调递增，在
上单调递减；

由
，解得
，

故
；……………………………………………………………………11分

③当
，即
时，
在
上单调递减，

故
，
，舍去． ……………………………………12分

综上，
．………………………………………………………………13分

（21）(本小题满分13分)

已知椭圆
的焦点是
，
，点
在椭圆
上，且满足
.

（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；

（Ⅱ）若
为椭圆
的下顶点，过点
的两条互相垂直的直线分别交椭圆
于点
（
与
不重合）．试证明直线
经过定点．

【命题意图】考查椭圆方程，直线与圆锥曲线的位置关系，较难题.

（21）【解】（Ⅰ）∵
，又

∴
，

∴椭圆
的标准方程为
；……………………………………………5分

（Ⅱ）设
，
，显然直线
的斜率存在，

设直线
方程
，联立方程组
，

消去
得：
，

∴
，
，…………………………………………7分

∴
，

；………………………………9分

∴
……………10分

；

∴
（舍），或
；………………………………………………12分

即直线
经过定点
．………………………………………………13分

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