2015年高中毕业年级第二次质量预测

理科数学试题卷

本试卷分第I卷（选择题）和第11卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150

分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷

时只交答题卡．

第I卷

一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．

1、设i是虚数单位，复数
，则｜z｜＝

A.1 　　　　　　　B.
　　　　　　　C.
　　　　　　 D. 2

2.集合U=｛0，1，2，3，4｝，A=｛1，2｝，B＝｛x
Z｝x2一5x+4<0｝，则C u(AUB)＝

A. { 0，1，3，4} 　　B.｛1，2，3｝ C.｛0，4｝　　　　　D. { 0｝

3.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m,n的比值
＝

A.1 　　　　　　　　B.
　　　　　　　C.
　　　　　　　D.

4．某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程

中各至少选一门，则不同的选法共有

A. 3种　　　　　　　　B. 6种　　　　　　C. 9种　　　　　D.18种

5.如图y= f (x)是可导函数，直线l: y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线，令g(x)=xf(x),g
(x）是g(x)的导函数，则g
（3）＝

A. －1 　　　B. 0 C. 2 　　　　　D. 4

6.有四个关于三角函数的命题：

p1：sinx=siny =>x+y=
或x=y，

其中真命题是

A. p1，p3 　　B. p2，p3 　　C.p1，p4 　　　D. p2，p4

7.若实数x、y满足
，且x=2x+y的最小值为4，则实数b的值为

　　　 A.1 　　　　B. 2 　　　　C.
　　　 D. 3

8.如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为

A. 8
　　　　 B. 16
　 　C. 32
　　 　D. 64

9.已知函数f（x）＝
，函数g(x) = f (x）一2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是

A.［一1，3)　　 B.〔-3，一1〕　　C.［-3，3）　　D.［一1，1)

10.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a，b，c，已知sin （B十A）＋sin（B－A）＝

3sin2A，且
，则△ABC的面积是

11.如图，矩形ABCD中,AB=2AD,E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成

△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是

A.｜BM｜是定值 　　　　B．点M在某个球面上运动

C.存在某个位置，使DE⊥A1 C D.存在某个位置，使MB//平面A1DE

12.已知双曲线
的左、右焦点分别是Fl，F2，过F2的直线交双

曲线的右支于P,Q两点，若｜PF1｜＝｜F1F2｜，且3｜PF2｜=2 ｜QF2｜，则该双曲线的离心率为

　　　A、
　　　　　B、
　　　　C、2　　　　D、

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13-21题为必考题．每个试题考生都必须作答．第

22-24题为选考题．考生根据要求作答．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知点A(－1，1）、B(0,3）、C(3，4），则向量
在
方向上的投影为　　　　．

14.已知实数m是2和8的等比中项，则抛物线y=mx2的焦点坐标为　　　　

15.执行如图所示的程序框图，输出的S值是　　　　．

16.已知偶函数y= f (x)对于任意的x
满足f
(x)cosx＋f(x)sinx>0(其中f
(x)是函数f (x)的导函数），则下列不等式中成立的有　　　　

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、或演算步骤

17.（本小题满分12分）

已知等差数列｛
｝的各项均为正数，
=1，且
成等比数列．

　（I）求
的通项公式，

　　（II）设
，求数列｛
｝的前n项和Tn.

18.（本小题满分12分）

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为2的菱形，平面ABC ⊥平面AA1 C1C, ∠A1AC=600, ∠BCA=900.

（I）求证:A1B⊥AC1

（II）已知点E是AB的中点，BC=AC，求直线EC1与平面平ABB1A1所成的角的正弦值。

19.（本小题满分12分）

某商场每天（开始营业时）以每件150元的价格购人A商品若千件(A商品在商场的保

鲜时间为10小时，该商场的营业时间也恰好为10小时），并开始以每件300元的价格出售，

若前6小时内所购进的商品没有售完，则商场对没卖出的A商品将以每件100元的价格低

价处理完毕（根据经验,4小时内完全能够把A商品低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再

购进A商品）．该商场统计了100天A商品在每天的前6小时内的销售量，制成如下表格

（注：视频率为概率）．（其中x＋y＝70)

（I）若某天该商场共购人6件该商品，在前6个小时中售出4件．若这些产品被6名

不同的顾客购买，现从这6名顾客中随机选2人进行服务回访，则恰好一个是以300元价格

购买的顾客，另一个以100元价格购买的顾客的概率是多少？

（II）若商场每天在购进5件A商品时所获得的平均利润最大，求x的取值范围．

20.（本小题满分12分）

设椭圆C：
，F1，F2为左、右焦点，B为短轴端点，且S△BF1F2＝4，离

心率为
,O为坐标原点．

（I）求椭圆C的方程，

（B）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M,

N,且满足
？若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由．

21．（本小题满分12分）

已知函数f(x)=ax＋ln(x－1)，其中a为常数．

（I）试讨论f (x)的单调区间，

(II)若
时，存在x使得不等式


成立，求b的取值范围．

请考生在第22,23,24三题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题记分．做答

时．用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

22．（本小题满分10分）选修4--1：几何证明选讲

奴图，已知圆O是△ABC的外接圆,AB=BC,AD是BC边上的高,AE是圆O的直径．过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F.

（I）求证：AC·BC=AD·AE;

（II）若AF=2, CF=2
，求AE的长

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为
为参数），

若以直角坐标系中的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标

方程为
（t为参数）．

（I）求曲线M和N的直角坐标方程，

（11）若曲线N与曲线M有公共点，求t的取值范围．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数f(x)=｜3x+2｜

（I）解不等式
，

（B）已知m+n=1(m,n>0)，若
恒成立，求实数a的取

值范围．

2015年高中毕业年级第二次质量预测

理科数学 参考答案

一、选择题

BCDC BDDC ADCA

二、填空题

（Ⅱ）
， ……… 8分

所以
. ……… 12分

18. （1）证明：取
中点
，连接
，

因为平面
平面
，
，

所以
平面

所以

.

又
，

所以
平面
，

所以
.……… 4分

在菱形
中，
.

所以
平面
，

所以
.　　 ……… 6分

（2）以点
为坐标原点，

建立如图所示的空间直角坐标系
，

则
，
，
，
，

，
，

设
是面
的一个法向量，

则
，

即

取
可得
……… 10分

又
,所以
，

所以直线
与平面
所成的角的正弦值

=
. ……… 12分

19.解：（1）恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个以100元价格购买的顾客的概率是A,

则
……… 3分

（2）设销售A商品获得的利润为
（单位：元）,

依题意, 视频率为概率，为追求更多的利润，

则商店每天购进的A商品的件数取值可能为4件，5件，6件.

当购进A商品4件时，

当购进A商品5件时，

当购进A商品6件时，

=
……… 9分

由题意
，解得
，又知
，

所以x的取值范围为
，
. ……… 12分

20.解:（1）因为椭圆
,由题意得

,
，
，

所以解得所以
椭圆
的方程为
……… 4分

（2）假设存在圆心在原点的圆
，使得该圆的任意一条切线与椭圆
恒有两个交点
,因为
，所以有
,

设
，

当切线斜率存在时，设该圆的切线方程为
，解方程组

得
,即
,

则△=
,即

……… 6分

要使
,需
,即
,

所以
,所以
又
,所以
,

所以
,即
或
,因为直线
为圆心在原点的圆的一条切线,

所以圆的半径为
,
,
,

所求的圆为
, ……… 10分

此时圆的切线
都满足
或
,

而当切线的斜率不存在时切线为
与椭圆
的两个交点

为
或
满足
,

综上, 存在圆心在原点的圆
满足条件. . ……… 12分

21.解：（1）由已知得函数
的定义域为

=

当
时，
在定义域内恒成立，
的单调增区间为
，

当
时，由
得

当
时，
；当
时，

的单调增区间为
，减区间为
.……… 5分

（2）由（1）知当
时，
的单调增区间为
，减区间为
.

所以

所以
恒成立，当
时取等号.

令
=
，则
……… 7分

当
时，
；当
时，

从而
在
上单调递增，在
上单调递减

所以，
……… 10分

所以，存在
使得不等式


成立

只需

即：
……… 12分

22．（10分）选修4－1：几何证明选讲

解：（1）证明：连结
，由题意知
为直角三角形.

因为
，
，

∽
，

所以
，即
.

又
，

所以
. ……… 5分

（2）因为
是圆
的切线，所以
，

又
，所以
，

因为
，又
，所以
∽
.

所以
，得

……… 10分

23．（10分）选修4－4：坐标系与参数方程

解（1）由

得
，

所以曲线
可化为
，
，

由
得
，

所以
，所以曲线
可化为
. ……… 5分

（2）若曲线
，
有公共点，则当直线
过点
时满足要求，此时
，并且向左下方平行运动直到相切之前总有公共点，相切时仍然只有一个公共点，

联立
，得
，

，解得
，综上可求得
的取值范围是
. ……… 10分

24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

解：（I）不等式
，即
，

当
时，即
解得

当
时，即
解得

当
时，即
无解，

综上所述
.……… 5分

（Ⅱ）
，

令

时，
，要使不等式恒成立，

只需
即
. ……… 10分

欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org