2015年高中毕业年级第二次质量预测

文科数学试题卷

本试卷分第I卷（选择题）和第B卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150

分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷

时只交答题卡．

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小厄给出的四个选项中．只有

一个符合题目要求．

1．设i是虚数单位，复数
，则｜z｜＝

A.1 　　　　　　　B.
　　　　　　　C.
　　　　　　 D. 2

2.集合U=｛0，1，2，3，4｝，A=｛1，2｝，B＝｛x
Z｝x2一6x+5<0｝，则C u(AUB)＝

A.｛1，5，6｝　　B.｛1，4，5，6｝ C.｛2，3，4｝　　D. (1，6｝

3.“a=1＂是“直线ax+y+1=0与直线(a+2)x－3y－2＝0垂直”的

A.充要条件　　　　B.充分不必要条件

C.必要不充分条件　D.既不充分也不必要条件

4. 已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m,n的比值
＝

A.1 　　　　　　　　B.
　　　　　　　C.
　　　　　　　D.

5.将函数f (x) = cosx－
sinx(x
R)的图象向左平移a(a>0)个单位长度后，所得到

的图象关于原点对称，则a的最小值是

A.
　　　　　　　　B.
　　　　　　 C.
　　　　　　D、

6.已知双曲线的一个焦点与抛物线
= 24y的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为300，则该双曲线的标准方程为

　　　

7．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，且（b－c）（sinB＋ sinC)＝（a－
c) ·sinA，则角B的大小为

A. 300 　　　　　　　　　B. 450 　　　　C. 600 　　　　　　　D、 1200

8.执行如图所示的程序框图，输出的S值是

　A.
　　　　　B、－1 　C、0　　　　　D. ―1―

9．若正数a,b满足2＋log2 a＝3+1og3b＝1og6 (a+b)，则
的值为

A. 36 　　　　　B. 72 C. 108 　　　　D.

10．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为

A. 8
　　　　 B. 16
　 　C. 32
　　 　　　D. 64

11.已知函数f(x)＝
，函数g(x)=f(x)一2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是

　　　 A.［一1，1) 　B.［0, 2］　　　C.［一2，2) 　　　D.［一1，2)

12.已知椭圆
的两焦点分别是Fl，F2，过F1的直线交椭圆于P,Q两点，若｜PF2｜＝｜F1F2｜，且2｜PF1｜=3｜QF1｜，则椭圆的离心率为

　　　A、
　　　　　B、
　　　　C、
　　　　D、

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第

22-24题为选考题．考生根据要求作答．

二、填空题（本大题共4小题．每小题5分，共20分｝

13．设等比数列｛
｝的前n项和为Sn，若27a3一a6＝0，则
＝　　　　　

14.如图，y=f(x)是可导函数，直线l: y=kx+2是曲线y= f(x)在x=3处的切线，令g(x)=xf(x)，其中g' (x)是

g（x）的导函数，则
＝　　　　　　　　

15.已知实数x,y满足
设b=x-2y，若b的最小值为一2，则b的最大值为　　　　　

16. 如图，矩形ABCD中,AB=2AD,E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成

△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是　　　　

①｜BM｜是定值 　　　　　　②点M在某个球面上运动

③存在某个位置，使DE⊥A1 C ④.存在某个位置，使MB//平面A1DE

三、解答题《本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、或演算步骤｝

17.（本小题满分12分）

已知数列｛
｝的前n项和为Sn，且Sn＝2a.n－2.

（I）求数列｛
｝的通项公式；

（B）设
，求使(n－8)bn≥nk对任意n
N＊恒成立的实

数k的取值范围．

18.（本小题满分12分）

最新高考改革方案已在上海和江苏开始实施，某教育机构为了解我省广大师生对新高

考改革方案的看法，对某市部分学校500名师生进行调查，统计结果如下：

在全体师生中随机抽取1名“赞成改革”的人是学生的概率为0.3，且x=2y.

（I）现从全部500名师生中用分层抽样的方法抽取50名进行问卷调查，则应抽取“不

赞成改革”的教师和学生人数各是多少？

（11）在（I）中所抽取的“不赞成改革”的人中，随机选出三人进行座谈，求至少有一名

教师被选出的概率。

19.（本小题满分12分）

如图，已知三棱柱ABC-A'B'C'侧棱垂直于底面，AB=AC, ∠BAC=900，点M,N分别为A'B和B'C'的中点．

（I）证明：MN／／平面AA'C'C；

（B）设AB=
AA'，当A为何值时，CN⊥平面A'MN，试证明你的结论．

20.（本小题满分12分）

设椭圆C：
，F1，F2为左、右焦点，B为短轴端点，且S△BF1F2＝4，离

心率为
,O为坐标原点．

（I）求椭圆C的方程，

（B）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M,

N,且满足
？若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由．

21.（本小题满分12分）

已知函数f(x)＝ax－l＋lnx，其中a为常数．

（I）当
时，若f(x)在区间（0，e)上的最大值为一4，求a的值；

（II）当
时，若函数
存在零点，求实数b的取值范围．

请考生在第22.23.24三题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题记分，做答

时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

22．（本小题满分10分）选修4--1：几何证明选讲

奴图，已知圆O是△ABC的外接圆,AB=BC,AD是BC边上的高,AE是圆O的直径．过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F.

（I）求证：AC·BC=AD·AE;

（II）若AF=2, CF=2
，求AE的长

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为
为参数），

若以直角坐标系中的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标

方程为
（t为参数）．

（I）求曲线M和N的直角坐标方程，

（11）若曲线N与曲线M有公共点，求t的取值范围．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数f(x)=｜3x+2｜

（I）解不等式
，

（B）已知m+n=1(m,n>0)，若
恒成立，求实数a的取

值范围．

数列
是以
为首项，公比为
的等比数列， 所以，
（
）.……… 6分

（2）
.

由
对任意
恒成立，即实数
对
恒成立；

设
，则当
或
时，
取得最小值为
，所以
. ……… 12分

18.解解： (Ⅰ) 由题意
，所以
，

因为
，所以
则应抽取教师人数
应抽取学生人数
…… 5分

（Ⅱ）所抽取的“不赞成改革”的2名教师记为
，4名学生记为1,2,3,4，随机选出三人的不同选法有

，

，
共20种，……… 9分

至少有一名教师的选法有

，

共16种，

至少有一名教师被选出的概率
…… 12分

19.证明（I）取
得中点
,连接
,因为
分别为
和
的中点，

所以
又因为
,
,

所以
,
, ……… 5分

所以
,因为
,

所以
； ……… 6分

（II）连接
,设
，则
，

由题意知

因为三棱柱
侧棱垂直于底面,

所以
,

因为
,点
是
的中点，所以
,

,……… 9分

要使
，

只需
即可，

所以
,即
，

则
时，
. ……… 12分

20.解:（1）因为椭圆
,由题意得

,
，
，

解得
所以椭圆
的方程为
…… 4分

（2）假设存在圆心在原点的圆
，使得该圆的任意一条切线与椭圆
恒有两个交点
，

因为
，所以有
,

设
，

当切线斜率存在时，设该圆的切线方程为
。解方程组

得
,即
, ……… 6分

则△=
,即

要使
,需
,即
,

所以
,所以
又
,所以
,

所以
,即
或
,因为直线
为圆的一条切线,

所以圆的半径为
,
,
,所求的圆为
, ……… 10分

此时圆的切线
都满足
或
,

而当切线的斜率不存在时，切线为
，与椭圆
的两个交点为
或
满足
, 综上, 存在圆心在原点的圆
满足条件. …… 12分

21. 解：（Ⅰ）由题意
，令
解得
因为
，所以
，

由
解得
，由
解得

从而
的单调增区间为
，减区间为

所以，
， 解得，
．……. 5分

（Ⅱ）函数
存在零点，即方程
有实数根，

由已知,函数
的定义域为
，当
时，
，所以
，

当
时，
；当
时，
，所以，
的单调增区间为
，减区间为
,

所以
， 所以，
≥1. ……… 9分

令
，则
. 当
时，
；当
时，

从而

在
上单调递增，在
上单调递减，

所以，
， 要使方程
有实数根，

只需
即可，则
. …12分

22. （Ⅰ）证明：连结
，由题意知
为直角三角形.

因为
，
，
∽
，

所以
，即
.

又
，所以
. ……… 5分

（Ⅱ）因为
是圆
的切线，所以
，又
，所以
，

因为
，又
，所以
∽
. 所以
，得