江西省六校2015届高三下学期第二次联考

数学（文）试题

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．）

1、设全集
,
,
,则
等于

A.
?????? B．
??? ??C．
??????? D．

2、复数
等于

(A)-i???? ? (B)i?? ??? (C)12-13i??? ? (D)12+13i

3、设集合
，那么“
”是“
”的

A、充分不必要条件? B、必要不充分条件?

C、充要条件? ? D、既不充分也不必要条件

4、在△ABC中，已知|
|＝4，|
|＝1，S△ABC＝
，则
·
等于

A．－2? ?????B．2 C．±4? ?????D．±2

5、椭圆
的两顶点为
，且左焦点为F，
是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率
为

??? A、
?????? B、
?????? C、
??????? D、

6、若3sin θ＝cos θ，则cos 2θ＋sin 2θ的值等于

A．－
?????B.
??????? C．－
??????? D.

7、如右图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为
的正三角形,其俯视图轮廓为正方形， 则其体积是

A．
?????? B.
?????C．
????? D.

8、运行如图所示的程序框图，若输出结果为
，则判断框中应该填的条件是

A．k>5????? B．k>6 C．k>7? ??????? D．k>8

9、设变量x，y满足约束条件
则目标函数z＝|x＋3y|的最大值为

A．4? ???????B．6 C．8 ???????D．10

10、已知直线l1：4x－3y＋7＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是

A．2 ???????B．3 ??????C.
?????? ??D.

11、已知定义域为R的函数f(x)满足：f(3)＝－6，且对任意x∈R总有
，则不等式f(x)<3x-15的解集为

A．(－∞，4)? ??? B．(－∞，3) C． (3，＋∞)? ???? D．(4，＋∞)

12、已知
，若
在
上恒成立，则实数
的取值范围是????

A．
??? B．
???? C．
????? D．

第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

13、在集合A＝{0,2,3}中随机取一个元素m，在集合B＝{1,2,3}中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P落在圆x2＋y2＝9内部的概率为____ ____．

14、已知向量
与
的夹角为60°，且|
|＝3，|
|＝2.若
＝λ
＋
，且
⊥
，则实数λ的值为______ __．

15、已知正三棱锥
，点
都在半径为
的球面上，若
两两相互垂直，则球心到截面
的距离为???????????? ．

16、已知函数
的值域为
，设
的最大值为
，最小值为
，则
=_________.?????????????????????????????

三、解答题（本大题共6小题，共70分．）

17、数列

是递增的等比数列，且
，又
.

（1）求数列
、
的通项公式；

（2）若
,求
的最大值.

18、如图，正三棱柱ABC―A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=1.

?? （I）求证：A1C//平面AB1D；

?? （II）求点c到平面AB1D的距离.

19、某校50名学生参加2014年全国数学联赛初赛，成绩全部介于90分到140分之间．将成绩结果按如下方式分成五组：第一组
，第二组
， ，第五组
．按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示．

（1）若成绩大于或等于100分且小于120分认为是良好的，求该校

参赛学生在这次数学联赛中成绩良好的人数；

（2）若从第一、五组中共随机取出两个成绩，求这两个成绩差的绝

对值小于30分的概率．

20、已知椭圆
过点
，且离心率为
.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）
为椭圆
的左右顶点，直线
与
轴交于点
，点
是椭圆
上异于
的动点，直线
分别交直线
于
两点.证明：当点
在椭圆
上运动时，
恒为定值.

21、已知：函数f（x）＝

??? （I）求f（x）的单调区间.

（II）若f（x） >0恒成立，求a的取值范围．

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，
内接于直径为
的圆
，过点
作圆
的切线交
的延长线于点
，
的平分线分别交
和圆
于点
，若
.

（1）求证：
；

（2）求
的值.

23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，以原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立坐标系．已知曲线

（
），过点
的直线
的参数方程为
（
是参数），直线
与曲线
分别交于
、
两点．

（1）写出曲线
和直线
的普通方程；

（2）若
，
，
成等比数列，求
的值．

24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数
．

（1）解不等式
；

（2）若
对一切实数
均成立，求
的取值范围．

六校文科数学参考答案

一、选择题

1、D 2、B 3、A 4、D 5、B 6、B 7、A 8、B 9、C 10、c 11、c 12、B

二、填空题

13、　4/9 14、1/6 15、
? 16、?

三、解答题

17、（1）由
可得
或

由题可知
，
.....2分

......6分

（2）
……8分

, ………10分

整理得：
，
的最大值是10.

????????????????????????????? ……12分

18、（I）证明：

连接A1B，设A1B∩AB1 = E，连接DE.

∵ABC―A1B1C1是正三棱柱，且AA1 = AB，

∴四边形A1ABB1是正方形，

∴E是A1B的中点， ………3分

又D是BC的中点，

∴DE∥A1C.

∵DE
平面AB1D，A1C
平面AB1D，

∴A1C∥平面AB1D. ………6分

???? （II）解：∵平面B1BCC1⊥平面ABC，且AD⊥BC，

∴AD⊥平面B1BCC1，又AD
平面AB1D，∴平面B1BCC1⊥平面AB1D. ……….8分

在平面B1BCC1内作CH⊥B1D交B1D的延长线于点H，

则CH的长度就是点C到平面AB1D的距离.

由△CDH∽△B1DB，得

即点C到平面AB1D的距离是
……………..12分

(利用等体积法也酌情给分)

19．解（1）由频率分布直方图知，成绩在
内的人数为：

（人）

所以该班成绩良好的人数为27人． ……….. 5分

（2）由频率分布直方图知，成绩在
的人数为
人，设为
、
、
；

成绩在
的人数为
人，设为
、
、
、
.

若
时，有
3种情况；

若
时，有
6种情况；

若
分别在
和
内时，共有12种情况.

所以基本事件总数为
种， ……………10分

事件“
”所包含的基本事件个数有9种.

∴
（
）
． ……………….. 12分

20、?解：（Ⅰ）由题意可知，
，而
且
.??

解得
，所以，椭圆的方程为
………5分

（Ⅱ）
.设
，
，

直线
的方程为
，令
，则
，

即
；

直线
的方程为
，令
，则
，

即
； …………8分

而
，即
，代入上式，

∴
，所以
为定值
…………12分

21、解：（Ⅰ）
的定义域为
，

?? ???????………3分

（1）当
时，在
上
，在
上
，

因此，
在
上递减，在
上递增．????????? ………5分

（2）当
时，在
上
，在
上
，

因此，
在
上递减，在
上递增．???????????? ………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
时，

．?????? ………9分

当
时，
，

．????????

综上得：
．???????????????? ………12分

22、解: （1）∵PA是圆O的切线 ∴
又
是公共角

∴
∽
………2分

∴
∴
………4分

（2）由切割线定理得：
∴

又PB=5 ∴
………6分

又∵AD是
的平分线 ∴

∴
∴
………8分

又由相交弦定理得：
………10分

23、解:(Ⅰ)曲线
的普通方程为

直线的普通方程为
---------4分

(Ⅱ)将直线的参数表达式代入抛物线得
,

， ------------6分

又
,

由题意知,
,

代入得
--------10分

24、解:(Ⅰ)当x
时f(x)=2x+1-(x-4)=x+5>0

得x>-5，所以x
成立

当
时,f(x)=2x+1+x-4=3x-3>0

得x>1,所以1

当
时f(x)=-x-5>0得x<-5所以x<-5成立，

综上,原不等式的解集为{x|x>1或x<-5} ------------5分

（Ⅱ）f(x)+
=|2x+1|+2|x-4|

当

所以m≤9 -----------10分

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