惠州市2015届高三模拟考试

数 学 试 题 （理科） 2015.04

本试卷共5页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡一并交回．

参考公式：锥柱体的体积公式：
，其中
是锥体的底面积，
是锥体的高．

用最小二乘法求线性回归方程系数公式：
，
．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1．若集合
，
，则 ( )

A．
B．
C．
D．

2．已知
为实数，
为虚数单位，若
为实数，则
( )

A．
B．
C．
D．

3．下列函数中，既是奇函数又存在极值的函数是 ( )

A．
B．
C．
D．

4．若变量
，
满足约束条件
，则目标函数
的最大值等于 ( )

A．7 B．8 C．10 D．11

5．在
中，
，
，
，则
( )

A．
B．
C．
D．

6．下列命题的说法 错误 的是 ( )

A．若复合命题
为假命题，则
都是假命题．

B．“
”是“
”的充分不必要条件．

C．对于命题
则
．

D．命题“若
，则
”的逆否命题为：“若
，则
”．

7．多面体
的底面
矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则该多面体的体积为 ( )

A．
B．
C．
D．

8．对于三次函数
，给出定义：设
是函数
的导数，
是
的导数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。设函数
，则
( )

A．1 B．
C．
D．

二、填空题（本大题共7小题，考生作答6题，每小题5分，满分30分，其中13题第一问2分，第二问3分。）

（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．

9．设
，若
，则
的最小值为__________．

10．计算积分
__________．

平均气温
（°C）

18

13

10

－1



用电量
（度）

25

35

37

63



11．某单位为了了解用电量
（度）与当天平均气温
（°C）之间的关系，随机统计了某4天的当天平均气温与用电量（如右表）。由数据运用最小二乘法得线性回归方程
，则
__________．

12．如图所示的程序框图，若输入
，则输出的
值为__________．



13．将自然数按如图排列，其中处于从左到右第
列从下到上第
行的数记为
，

如
，
，则
__________；
__________．

（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题．

14．（极坐标与参数方程选做题）若点
在以点
为焦点的抛物线
（
为参数）上，则
等于______．

15．（几何证明选讲选做题）如图，
与圆
相切于
，
为圆
的割线，并且不过圆心
，已知
，
，
，则圆
的半径等于__________．

三、解答题。本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。

16．（本小题满分12分）

已知函数

的最小正周期为
，

且
．

（1）求
的表达式；

（2）设
，
，
，求
的值．

17．（本小题满分12分）

一个盒子内装有8张卡片，每张卡片上面写着1个数字，这8个数字各不相同，且奇数有3个，偶数有5个．每张卡片被取出的概率相等．

（1）如果从盒子中一次随机取出2张卡片，并且将取出的2张卡片上的数字相加得到一个新数，求所得新数是奇数的概率；

（2）现从盒子中一次随机取出1张卡片，每次取出的卡片都不放回盒子，若取出的卡片上写着的数是偶数则停止取出卡片，否则继续取出卡片．设取出了
次才停止取出卡片，求
的分布列和数学期望．

18．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥
中，底面
为直角梯形，
，
，平面
⊥底面
，
为
的中点，
是棱
上的点，
，
，
．

（1）求证：平面
⊥平面
；

（2）若二面角
为
，设
，

试确定
的值．

19．（本小题满分14分）

已知数列
的前
项和为
，
，
．

（1）求数列
的通项公式；

（2）设数列
的前
项和为
，
=
+
+
+……+
．

试比较
与
的大小．

20．（本小题满分14分）

在直角坐标系
中，曲线
上的点均在圆
外，且对
上任意一点
，
到直线
的距离等于该点与圆
上点的距离的最小值．

（1）求曲线
的方程；

（2）设
为圆
外一点，过
作圆
的两条切线，分别与曲线
相交于点
和
．证明：当
在直线
上运动时，四点

的纵坐标之积为定值．

21．（本小题满分14分）

已知
，函数
＝
．

（1）记
在区间
上的最大值为
，求
的表达式；

（2）是否存在
，使函数
在区间
内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求
的取值范围；若不存在，请说明理由．

惠州市2015届高三模拟考试

数学（理科）参考答案与评分标准

一．选择题：共8小题，每小题5分，满分40分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

A

B

B

C

B

A

C

D



1．【解析】由集合的包含关系可知
，故选A．

2．【解析】
，所以
，故选B．

3．【解析】由选项可知，A选项
单调递增（无极值），C、D选项不是奇函数，只有B选项既为奇函数又存在极值．故选B．

4．【解析】平面区域如图所示，所以
，故选C．

5．【解析】
，又由余弦定理知
．

6．【解析】若
为假命题，则
至少有一个为假命题．故选A．

7．【解析】用割补法可把几何体分割成三部分,可得
，故选C．

8．【解析】依题意得：
，由
，可得
，而
，即函数
的拐点为
，即
，

所以

所以所求为
，故选D．

二．填空题：共7小题，每小题5分，满分30分．其中13题第一问2分第二问3分．

9．4 10．1 11．60 12．
13．
14．
15．

9．【解析】

，当且仅当
时取等号，所以
的最小值为
．

10．【解析】
．

11．【解析】
，
，样本中心为
，

回归直线经过样本中心，所以
．

12．【解析】由程序框图知
，

又
以及周期的性质，化简后得

．

13．【解析】由题意，
，

∴

，∴
．

14．【解析】抛物线为
，
为
到准线
的距离，即距离为
．

15．【解析】由圆的性质PA
=PC·PB，得PB=12，连接OA并反向延长

交圆于点E，在直角三角形APD中可以求得PD=4，DA=2，故CD=3，

DB=8，记圆的半径为R，由于ED·DA=CD·DB

因此
，解得R=7．

三、解答题。本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。

16．（本小题满分12分）

解：(1)依题意得
，∴
， ……2分

由f(2π)=2，得
，即
，∴A=4， ……4分

∴
. ……5分

(2)由
，得
，

即
，∴
， ……6分

又∵
，∴
， ……7分

由
，得
，

即
，∴
， ……9分

又∵
，∴
， ……10分

cos(α－β)= cosαcosβ+ sinαsinβ
. ……12分

17．（本小题满分12分）

(本题主要考查排列组合、古典概型、随机变量的分布列等基础知识，考查学生运用所学知识解决实际应用问题的能力)

解: (1)记事件
为“任取2张卡片，将卡片上的数字相加得到的新数是奇数”, ……1分

因为奇数加偶数可得奇数，所以

所以所得新数是奇数的概率等于
． ……………4分

(2)
所有可能的取值为1,2,3,4, ……………5分

根据题意得

…………………9分

故
的分布列为

1

2

3

4















……………10分

． ………………………12分

18．（本小题满分14分）

（本题考查平面与平面垂直的证明，求实数的取值．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，合理地运用向量法进行解题．）

解答：（Ⅰ）证法一：∵AD∥BC，BC=
AD，Q为AD的中点，

∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ． …………………1分

∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°，即QB⊥AD． …………………2分

又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，…………………4分

∴BQ⊥平面PAD． …………………5分

∵BQ?平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD． …………………6分

证法二：AD∥BC，BC=
AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，

∴CD∥BQ． …………………1分

∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°，即QB⊥AD． …………………2分

∵PA=PD，∴PQ⊥AD． …………………3分

∵PQ∩BQ=Q
， …………………4分

∴AD⊥平面PBQ． …………………5分

∵AD?平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD． …………………6分

（Ⅱ）法一：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．

∵面PAD⊥面ABCD，且面PAD∩面ABCD=AD，∴PQ⊥面ABCD．……………7分

如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．则平面BQC的法向量为
；……8分

，
，
，
．

设
，则

，
……9分

,∴
，………10分

在平面MBQ中，
，
，

∴平面MBQ法向量为