上海市黄浦区2015年高考模拟考

数学试卷(文理合卷)

(2015年4月21日)

考生注意：

1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；

2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚；

3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．

一、填空题(本大题满分56分) 本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．

1．函数
的定义域是　　 　．

2．函数
的单调递减区间是 ．

3．已知集合
，若
，则正实数
的取值范围是 ．

4．若二次函数
是定义域为
的偶函数，则函数
的反函数
= ．

5．已知角
的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边在
轴的正半轴上，终边经过点

，则
的值是 .

6．在△
中，内角
所对的边分别为
，且
，则 (
= ．

7．在等差数列
中，若
，
，则正整数
　　　　　　 ．

8．已知点
，则直线
的点法向式方程是 ．

9．已知抛物线
的焦点与双曲线
的一个焦点重合，则双曲线的渐近线方程是 ．

10．已知
是球
的一条直径，点
是
上一点，若
，平面
过点
且垂直
，截得圆
，当圆
的面积为
时，则球
的表面积是 ．

11．若二次函数
对一切
恒有
成立，且
，则
．

12．(理科)在平面直角坐标系中，直线
：
，圆

，则圆心到直线的距离是 ．

(文科) 设点
位于线性约束条件
所表示的区域内（含边界），则目标函数
的最大值是 ．

13．(理科)一个不透明的袋子里装有外形和质地完全一样的5个白球，3个红球，2个黄球，将它们充分混合后，摸得一个白球计2分，摸得一个红球记3分，摸得一个黄球计4分，若用随机变量
表示随机摸一个球的得分，则随机变量
的数学期望
的值是 分．

(文科) 一个不透明的袋中装有大小形状质地完全相同的黑球、红球、白球共10个，从中任意摸出1个球，得到黑球的概率是
，则从中任意摸出2个球得到至少1个黑球的概率是 ．

14．(理科)已知点
，平面直角坐标系上的动点
满足
(其中
是坐标原点，且
)，若动点
组成的区域的面积为8，则
的最小值是 ．

(文科) 在
中，
，且
，则
的数值是 ．

二、选择题(本大题满分20分)　本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

15．在空间中，下列命题正确的是 [答] ( )．

A．若两直线a,b与直线l所成的角相等，那么a∥b

B．空间不同的三点
确定一个平面

C．如果直线l//平面
且
//平面
，那么

D．若直线
与平面
没有公共点，则直线
//平面

16．设实数
均不为0，则“
成立”是“关于
的不等式
与
的解集相同”的　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　[答] ( )．

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件　C．充要条件　　D．非充分非必要条件

17．若复数
同时满足
，
，则
(
是虚数单位，
是
的共轭复数) [答] ( )．

A．
B．
C．
D．

18．已知数列
共有5项，满足
，且对任意
，有
仍是该数列的某一项，现给出下列4个命题：

(1)
；(2)
；(3)数列
是等差数列；

(4)集合
中共有9个元素．

则其中真命题的序号是 　　 　 [答]( 　)．

．(1)、(2)、(3)、(4)　　　
．(1)、(4)　　
．(2)、(3)　　
．(1)、(3)、(4)

三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．

19．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．

在长方体
中，
，
，过
、
、
三点的平面截去长方体的一个角后，得到如下所示的几何体
．

(理科)(1) 若
的中点为
，求异面直线
与
所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

(2)求点D到平面
的距离
．

（文科）(1) 求几何体
的体积，并画出该几何体的左视图(
平行主视图投影所在的平面)；

(2)求异面直线
与
所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

第19题图

20．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．

　　已知函数
，函数
与函数
的图像关于原点对称．

(1)求
的解析式；

(2)(理科)求函数
在
上的单调递增区间．

(2)(文科) 当
时，求函数
的取值范围．

21．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

　 有一块铁皮零件，其形状是由边长为
的正方形截去一个三角形
所得的五边形
，其中
，如图所示．现在需要用这块材料截取矩形铁皮
，使得矩形相邻两边分别落在
上，另一顶点
落在边
或
边上．设
cm，矩形
的面积为

．

(1)试求出矩形铁皮
的面积
关于
的函数解析式，

并写出定义域；

(2)试问如何截取(即
取何值时)，可使得到的矩形
的面积最大？

第21题图

22．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分．

（理科）已知数列
满足
，对任意
都有
．

(1)求数列
(
)的递推公式；

(2)数列
满足
(
)，求通项公式
；

(3)设
，问是否存在实数
使得数列
(
)是单调递增数列？若存在，求出
的取值范围；若不存在，请说明你的理由．

（文科）

　已知数列
满足
，对任意
都有
．

(1)求数列
(
)的通项公式
；

(2)数列
满足
(
)，求数列
的前
项和
；

(3)设
，求数列
(
)中最小项的值．

23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．

已知点
，平面直角坐标系上的一个动点
满足
．设动点
的轨迹为曲线
．

(1)求曲线
的轨迹方程；

(2)点
是曲线
上的任意一点，
为圆
的任意一条直径，求
的取值范围；

(3)（理科）已知点
是曲线
上的两个动点，若
(
是坐标原点)，试证明：直线
与某个定圆恒相切，并写出定圆的方程．

（文科）已知点
是曲线
上的两个动点，若
(
是坐标原点)，试证明：原点
到直线
的距离是定值．

黄浦区2015年高考模拟考数学试卷(文理合卷)

参考答案 (2015年4月21日)

一、填空题

1．
； 8．
；

2．
； 　　　　 9．
；

3．
； 10．
；

4．
； 11．
；

5．
； 12．（理科）
；（文科）
；

6．
； 13．（理科）
；（文科）
；

7．
　； 14．（理科）
．（文科）
或
．

二、选择题 　15．D　　　16．B　　　17．D　　　18．A

三、解答题

19．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分６分，第2小题满分６分．

（理科）

解 (1)按如图所示建立空间直角坐标系．由题知，可得点
、
、
、
、
．　　　　　

由
是
中点，可得
.

于是，
．　

设异面直线
与
所成的角为
，则

　　
．

　因此，异面直线
与
所成的角为
．

(2)设
是平面
的法向量．

　　∴

　　又
，

∴
　取
，可得
即平面
的一个法向量是
．

∴

． 　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　

（文科）

解(1)