上海市普陀区2015高三数学二模试卷

一、填空题（每小题4分，共56分）

1．已知集合
，若
，则实数
的取值范围是

2．函数
的最小正周期为 ．

3．在等差数列
中，已知
则
．

4．若
，
是直线
的倾斜角，则
= ．（用
的反正切表示）

5．设
（i为虚数单位），则
．

6．直角坐标系
内有点A（2，1），B（0，2），将线段
绕直线
旋转一周，所得到几何体的体积为 ．

7.已知平面向量
，若
，则

8．设
，行列式
中第3行第2列的代数余子式记作
，函数
的反函数经过点
，则a=　 ．

9．某学生参加3门课程的考试。假设该学生第一门、第二门及第三门课程取得合格水平的概率依次为
，

，且不同课程是否取得合格水平相互独立。则该生只取得一门课程合格的概率为 ．

10．已知
是椭圆
上的一点，
为椭圆的左、右焦点，则
的最小值为 ．

11．已知
是等差数列，设

．某学生设计了一个求
的算法框图（如图），图中空白处理框中是用
的表达式对
赋值，则空白处理框中应填入：
←____________．

12．不等式
对一切非零实数
均成立，则实数
的范围为

13．平面直角坐标系
中，
为坐标原点.定义
、
两点之间的“直角距离”为
，已知点
，点M是直线
上的动点，
的最小值为 ．

14．当
为正整数时，用
表示
的最大奇因数，如
，设
，则数列
的前
项和的表达式为 ．

二、选择题（每小题5分，共20分）

15．已知
，
是两条不同的直线，
是一个平面，以下命题正确的是（ ）

（A） 若
,
, 则


； （B）若
,


, 则
；

（C）若
,
, 则
； （D） 若
,
, 则
；

16．以下是科学家与之相研究的领域不匹配的是（ ）

（A）笛卡儿—解析几何； （B）帕斯卡—概率论；（C）康托尔—集合论；（D）祖暅之—复数论；

17．已知各项均不为零的数列
,定义向量
，
，
. 下列命题中真命题是（ ）

(A) 若
总有
成立，则数列
是等差数列(B) 若
总有
成立，则数列
是等比数列

(C) 若
总有
成立，则数列
是等差数列(D) 若
总有
成立，则数列
是等比数列

18．方程
的正根从小到大地依次排列为
，则正确的结论为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

三、解答题（12+14+14+16+18，共74分）

19．已知向量
（
为常数且
），函数
在
上的最大值为
．（1）求实数
的值；（2）把函数
的图象向右平移
个单位，可得函数
的图象，若
在
上为增函数，求
的最大值．

20．已知三棱柱
的侧棱与底面垂直，
是
的中点，
是
的中点，点
在
上，且满足
（1）证明：
；（2）当
取何值时，直线
与平面
所成的角
最大？并求该角的最大值的正切值。

21．近年来玉制小挂件备受人们的青睐，某玉制品厂去年的年产量为10万件，每件小挂件的销售价格平均为100元，生产成本为80元。从今年起工厂投入100万元科技成本，并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本，预计产量每年递增1万件。设第n年每件小挂件的生产成本
元，若玉制产品的销售价格不变，第n年的年利润为万元（今年为第1年）（1）求利润的表达式
;（2）问从今年算起第几年的利润最高？最高利润为多少万元？

22．存在对称中心的曲线叫做有心曲线．显然圆、椭圆和双曲线都是有心曲线．若有心曲线上两点的连线段过中心，则该线段叫做有心曲线的直径．（1）已知点
，求使
面积为
时，椭圆
的直径
所在的直线方程；（2）若过椭圆
的中心作斜率为
的直线交椭圆于
两点，且椭圆的左、右焦点分别为
，若以
为圆心，
长度为半径作⊙
，问是否存在定圆⊙
，使得⊙
恒与⊙
相切？若存在，求出⊙
的方程。若不存在，请说明理由。（3）定理：若过圆
的一条直径的两个端点与圆上任意一点（不同于直径两端点）的连线所在直线的斜率均存在，那么此两斜率之积为定值
．请对上述定理进行推广．说明：第（3）题将根据结论的一般性程度给与不同的评分．

23．已知数列
中，
，
（1）试求
的值，使数列
是一个常数列；

（2）试求
的取值范围，使得数列
是单调增数列；（3）若
不为常数列，设
，
为数列
的前
项和，请你写出
的一个值， 使得
恒成立，并说明理由。

上海市普陀区2015高三数学二模试卷答案

一、填空题（每小题4分，共56分）

1．已知集合
，若
，则实数
的取值范围是

2．函数
的最小正周期为 ．

3．在等差数列
中，已知
则
．

4．若
，
是直线
的倾斜角，则
= ．（用
的反正切表示）

5．设
（i为虚数单位），则
．

6．直角坐标系
内有点A（2，1），B（0，2），将线段
绕直线
旋转一周，所得到几何体的体积为 ．

7.已知平面向量
，若
，则

8．设
，行列式
中第3行第2列的代数余子式记作
，函数
的反函数经过点
，则　 ．

9．某学生参加3门课程的考试。假设该学生第一门、第二门及第三门课程取得合格水平的概率依次为
，

，且不同课程是否取得合格水平相互独立。则该生只取得一门课程合格的概率为 ．

10．已知
是椭圆
上的一点，
为椭圆的左、右焦点，则
的最小值为 ．

11．已知
是等差数列，设

．某学生设计了一个求
的算法框图（如图），图中空白处理框中是用
的表达式对
赋值，则空白处理框中应填入：
←______．

12．不等式
对一切非零实数
均成立，则实数
的范围为

13．平面直角坐标系
中，
为坐标原点.定义
、
两点之间的“直角距离”为
，已知点
，点M是直线
上的动点，
的最小值为 ．

14．当
为正整数时，用
表示
的最大奇因数，如
，设
，则数列
的前
项和的表达式为 ．

二、选择题（每小题5分，共20分）

15．已知
，
是两条不同的直线，
是一个平面，以下命题正确的是（ ）

（A） 若
,
, 则


； （B）若
,


, 则
；

（C）若
,
, 则
； （D） 若
,
, 则
；

16．以下是科学家与之相研究的领域不匹配的是（ ）

（A）笛卡儿—解析几何；（B）帕斯卡—概率论；（C）康托尔—集合论； （D）祖暅之—复数论；

17．已知各项均不为零的数列
,定义向量
，
，
. 下列命题中真命题是（ ）

(A) 若
总有
成立，则数列
是等差数列

(B) 若
总有
成立，则数列
是等比数列

(C) 若
总有
成立，则数列
是等差数列

(D) 若
总有
成立，则数列
是等比数列

18．方程
的正根从小到大地依次排列为
，则正确的结论为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

三、解答题（12+14+14+16+18，共74分）

19．已知向量
（
为常数且
），函数
在
上的最大值为
．（1）求实数
的值； （2）把函数
的图象向右平移
个单位，可得函数
的图象，若
在
上为增函数，求
的最大值．

20．已知三棱柱
的侧棱与底面垂直，
是
的中点，
是
的中点，点
在
上，且满足
（1）证明：
；（2）当
取何值时，直线
与平面
所成的角
最大？并求该角的最大值的正切值。

21．近年来玉制小挂件备受人们的青睐，某玉制品厂去年的年产量为10万件，每件小挂件的销售价格平均为100元，生产成本为80元。从今年起工厂投入100万元科技成本，并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本，预计产量每年递增1万件。设第n年每件小挂件的生产成本
元，若玉制产品的销售价格不变，第n年的年利润为万元（今年为第1年）（1）求利润的表达式