2014学年嘉定区高三年级第二次质量调研数学试卷（理）

考生注意：本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．解答必须写在答题纸上的规定区域，写在试卷或草稿纸上的答案一律不予评分．

一．填空题（本大题有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．已知集合
，
，则
________．

2．抛物线
的焦点到准线的距离是______________．

3．若
，其中
、

，
是虚数单位，则
_________．

4．已知函数
，若
，
且
，则
的取值范围是_______．

5．设等差数列
满足
，
，
的前
项和
的最大值为
，则
=__________．

6．若
（
），且
，则

_______________．

7. 已知对任意
，向量
都是直线
的方向向量，设数列

的前
项和为
，若
，则
_____________．

8．已知定义在
上的单调函数
的图像经过点
、
，若函数
的反函数为
，则不等式
的解集为 ．

9. 已知方程
在
上有两个不相等的实数解，则实数
的取

值范围是____________．

10. 随机变量
的分布律如下表所示，其中
，
，
成等差数列，若
，则
的值

是___________．





















11．现有
张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各
张.从中任取
张,要求这
张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多
张．则不同取法的种数为__________．

12. 在平面直角坐标系
中，点
和点
满足
按此

规则由点
得到点
，称为直角坐标平面的一个“点变换”．在此变换下，若
，

向量
与
的夹角为
，其中
为坐标原点，则
的值为____________．

13. 设定义域为
的函数
若关于
的函数

有
个不同的零点，则实数
的取值范围是____________．

14．把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，

得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列

，若
，则
________．

二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

15．在△
中，“
”是“
”的……………………………………（ ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

16．已知平面直角坐标系内的两个向量
，
，且平面内的任一向

量
都可以唯一的表示成

为实数），则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

17．极坐标方程
（
）表示的图形是…………………………（ ）

A．两个圆 B．两条直线

C．一个圆和一条射线 D．一条直线和一条射线

18．在四棱锥
中，
，
分别为侧棱
，
的中点，则四面体
的体积与四棱锥
的体积之比为……………………………………………（ ）

A．
B．
C．
D．

三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．

在△
中，已知
，外接圆半径
．

（1）求角
的大小；

（2）若角
，求△
面积的大小.

20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

如图，四棱锥
的底面
为菱形，
平面
，
，
，
为
的中点．

（1）求证：
平面
；

（2）求平面
与平面
所成的锐二面角大小的余弦值．

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分．

某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数
与时刻
（时）的关系为
，
，其中
是与气象有关的参数，且
．若用每天
的最大值为当天的综合污染指数，并记作
．

（1）令
，
，求
的取值范围；

（2）求
的表达式，并规定当
时为综合污染指数不超标，求当
在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数不超标．

22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

已知椭圆
（
）的左、右焦点分别为
、
，点

，过点
且与
垂直的直线交
轴负半轴于点
，且
．

（1）求证：△
是等边三角形；

（2）若过
、
、
三点的圆恰好与直线
：
相切，求椭圆
的方程；

（3）设过（2）中椭圆
的右焦点
且不与坐标轴垂直的直线
与
交于
、
两点，
是点
关于
轴的对称点．在
轴上是否存在一个定点
，使得
、
、
三点共线，若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．

23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

已知数列
中，
，
，
的前
项和为
，且满足

（
）．

（1）试求数列
的通项公式；

（2）令
，
是数列
的前
项和，证明：
；

（3）证明：对任意给定的
，均存在
，使得当
时，（2）中的
恒成立．

2014学年嘉定区高三年级第二次质量调研

数学试卷（理）参考答案与评分标准

一．填空题（本大题有14题，每题4分，满分56分）

1．
或
2．
3．
4．

5．
6．
7．
8．

9．
10．
11．

12．
13．
14．

二．选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分）

15．B 16．D 17．C 18．C

三．解答题（本大题共有5题，满分74分）

19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．

（1）由题意，
，

因为
，所以
，故
，……（2分）

解得
（舍），或
． ………………（5分）

所以，
． ………………（6分）

（2）由正弦定理，
，得
，所以
． ………（2分）

因为
，由
，得
， …………（4分）

又
，所以△
的面积
． …………（6分）

20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

（1）连结
，由已知得△
与△
都是正三角形，

所以，
，
， ………………（1分）

因为
∥
，所以
，……………（2分）

又
平面
，所以
，……（4分）

因为
，所以
平面
．…（6分）

（2）以
为原点，
，
，
所在直线

分别为
轴，
轴，
轴建立空间直角坐标系．

由（1）知平面
的一个法向量为
，

又
，
，
，
，

所以
，
，……（2分）

设平面
的一个法向量为
，

由
得

取
，则
，故
， …………（4分）

设
与
的夹角为
，

则
．…………（7分）

所以，平面
与平面
所成的锐二面角大小的余弦值为
．……（8分）

（2）解法二（图略）

在平面
上，过
作
∥
且
，连结
，则四边形
是平行四边形，即直线
是平面
与平面
的交线．………………（2分）

因为
，
，所以
平面
，故
，

所以
，又
，所以
就是平面
与平面
所成二面角的平面角． …………（5分）

在
△
中，
，
，…………（6分）

． ……………………（7分）

所以，平面
与平面
所成的锐二面角大小的余弦值为
．……（8分）

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分．

（1）当
时，
； ………………（2分）

当
时，因为
，所以
， ……………………（4分）

即
的取值范围是
． ………