本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知是虚数单位，和都是实数，且
,则

=（ ）

A. B.
C. D.

2. 右图所示的算法运行后，输出的的值等于（ ）

A．9 B．8 C．7 D．6

3. 过点
且倾斜角为
的直线
与圆
的位置关系为( )

A.相交 B.相切 C. 相离 D. 以上均有可能

4. 数列
满足
，若
，则
=（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 下列命题中

①“数列
既是等差数列，又是等比数列”的充要条件是“数列
是常数列”；

②若命题“且”为假命题，则
均为假命题；

③对命题:存在
使得
，则
对于任意的
均有
；

④若两个非零向量
共线，则存在两个非零实数
，使
.

正确命题的个数是（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

6. 直线
是常数），当此直线在
轴的截距和最小时，正数的值是（ ） A.0 B.2 C.
D.1

7. 如图，矩形
内的阴影部分是由曲线
及直线
与轴围成，向矩形
内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为
，则的值是( )

A .
B.
C .
D.

8. 为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的平均成绩分别是
、
，则下列说法正确的是（ ）

A.

，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛

B.

，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛

C.

，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛

D.

，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛

9. 设函数
，若
，
，则函数
的零点个数为 （ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

10. 已知数列
满足：
，定义：使
为整数的数
叫做“希望数”，则区间
内所有希望数的和等于（ ）

A．2026 B．2036 C．2046 D．2048

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共25分）

11．
的二项展开式中x的系数是 ；（用数字作答）

12．双曲线
（a>0,b>0）的两个焦点为
，若P为其上一点，且
，则双曲线离心率的取值范围是 ；

13．观察下列式子：

,…,

根据以上式子可猜想:

;

14. 右图中的三个直角三角形是一个体积

为
的几何体的三视图，则
= cm

15. （请从下列三个小题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分.）

A．(几何证明选做题）如图，
是
的高，

是
外接圆的直径，

则
的长为 ；

B．（不等式选做题）如果关于的不等式

的解集不是空集，则实数a的取值范围是 ；

C．（坐标系与参数方程选做题） 已知圆C的圆心为
，半径为5，直线

被圆截得的弦长为8，则= ；

三、解答题：本大题共6小题，16～19每小题12分，20题13分，21题14分，满分75分.

16. (本小题满分12分)

(Ⅰ) 若
,用向量法证明
；

(Ⅱ) 若向量
与
互相垂直，且
其中

求

17. (本小题满分12分)

数列
的各项均为正数，
为其前项和，对于任意
，总有
成等差数列.

(Ⅰ) 求数列
的通项公式；

(Ⅱ) 设
,数列
的前项和为
,求证:
.

18. (本小题满分12分)在四棱锥
中，侧面
底面
，

，为
中点，底面
是直角梯形。

(Ⅰ) 求证：
平面
；

(Ⅱ) 设
为侧棱
上一点，
，

试确定
的值，使得平面QBD与平面PBD的夹角为
。

19.(本小题满分12分)某同学参加某高校自主招生3门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为
，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为， (
)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为

(Ⅰ) 求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率及,的值；

(Ⅱ) 求数学期望
.

20. (本小题满分13分) 已知椭圆
的离心率为
，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线
相切.

(Ⅰ) 求椭圆
的标准方程；

(Ⅱ) 若过F的直线交椭圆于A，B两点，且
与向量
共线（其中O为坐标原点），求
与
的夹角；

21. (本小题满分14分)已知函数
，
，
.

(Ⅰ) 若曲线
与曲线
相交，且在交点处有相同的切线，求的值及该切线的方程；

(Ⅱ) 设函数
,当
存在最小值时，求其最小值
的解析式；

(Ⅲ) 对（Ⅱ）中的
和任意的
时，证明：



故

17．（本小题满分12分）

解：（1）由已知：对于
，总有
①成立

∴
（n ≥ 2）②

①-②得
, ∴

∵
均为正数，∴
（n≥2）

∴数列
是公差为1的等差数列.

又n=1时，
， 解得
=1, ∴
.(
)

(2) 解法一：由（1）可知
,

解法二：由（1）可知
,

,
.

（本小题满分12分）

解：（1）平面
平面
，
，∴
平面
，∴

在直角梯形ABCD中，

∴
即
.

又由
平面
，可得

，

又
，∴
平面
.

（3）如图，以D为原点建立空间直角坐标系
，则
，

平面
的法向量为

，
，设平面
的法向量为
，

，由
，∴

∴
，注意
。

19.（本题满分12分）

解：用
表示“该生第门课程取得优秀成绩”， =1，2，3。

由题意得

(Ⅰ)该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率为

由

及
得

(Ⅱ)

ξ

0

1

2

3















∴?

∴该生取得优秀成绩的课程门数的期望为
?．

21. （本小题满分14分）

解： （Ⅰ）
=

,
=
(x>0),

由已知得
解得a=
，x=e2,

∴ 两条曲线交点的坐标为（e2,e） 切线的斜率为

∴ 切线的方程为

（Ⅱ）由条件知
∴