2015年咸阳市高考模拟考试试题（一）

理科数学参考答案

一、选择题（ 本大题共12小题，每小题5分，共60分）．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

B

A

D

C

D

B

A

A

B

C

B





填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.
. 14.11. 15.
. 16.
.

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. （本小题满分12分）

解:由三角形面积公式及已知得S=

化简得
即
又0

（1）由余弦定理得,
∴b=
a.

∴a:b:c=1:
:2,知
. ………………………………………6分

（2）由正弦定理得
.

由 C=
,c=
=

又由
知1
，故c
……………………………………12分

18.（本小题共12分）

解：（Ⅰ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件

B.由于事件A、B相互独立，

,
. ………………………………… 3分

取出的4个球均为黑球的概率为

. ……………………………… 4分

（Ⅱ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D.由于事件C、D互斥，且
,
.………………… 7分

所以取出的4个球中恰有1个红球的概率为

. ……………………………… 8分

（Ⅲ）设
可能的取值为0,1,2,3.

由（Ⅰ）、（Ⅱ）得
,
,
.

所以
.

的分布列为

0

1

2

3



P













-----------11分

∴
的数学期望
. ………… 12分

19（本小题满分12分）

解法一:

∵四边形ACDE是正方形，
；

又∵平面
平面ABC，
，

平面EAC； ………………3分

平面EAC，
；

又
，
平面EBC； ………………6分

(2) 过A作AHEB于H，连结HM；

平面EBC，
；
平面AHM；

是二面角A-EB-C的平面角； ………………8分

∵平面
平面ABC，
平面ABC；
；

在
中，AHEB ，有
；

设EA=AC=BC=2a可得，

，
；

,
.

∴二面角A_EB_C等于
. …………12分

解法二： ∵四边形ACDE是正方形 ，
，

∵平面
平面ABC，
平面ABC ； ………2分

所以，可以以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为X轴，分别以直线AC和AE为y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz； 设EA=AC=BC=2，则A(0,0,0),C(0,2,0),E(0,0,2)，

M是正方形ACDE的对角线的交点，M(0,1,1)； ……………4分

（1）
，
，
，

，
；

又
，
平面EBC； ………………6分

（2） 设平面EAB的法向量为
，则
且
，

且
；

, 即

取y=-1，则x=1， 则
； ………………10分

又∵
为平面EBC的一个法向量，且
，

，

设二面角A-EB-C的平面角为
，则
，
；

∴ 二面角A-EB-C等于
. ………………12分

20.解：(1)设抛物线方程为C：
，

由其定义知
，又
，所以
，
.

---------------5分

解法一：易知
，当
轴时，设
方程为
（
），

由
得

由
得
不符题意。

当
的斜率存在时，设
方程为
，

联立
得
，

设
，则
，① ------------8分

由
,得

2(
)+
-4=0 ② 把②代入①得

直线
方程为
，显然过定点
.-------------12分

解法二：易知
，设
，DE方程为

把DE方程代入C，并整理得
，

---------------8分

由
及
得

，所以
，代入DE方程得：

，即

故直线DE过定点
-------------------12分

21. （本小题满分12分）

解：（I）
，

∴
……2分

对
，
，故不存在实数m，

使
对
恒成立， ---------------------------4分

由
对
恒成立得，

≥
对
恒成立

而
＜0，故m≥0

经检验，当m≥0时，
对
恒成立

∴当m≥0时，f（x）为定义域上的单调递增函数． ---------- 6分

（II）当m = 1时，令

，

在[0，1]上总有
≥0，即
在[0，1]上递增

∴当
时，
，

即
① ------------------9分

令
，

,知h(x)在[0，1]上递减，∴

即
②-----------------------------11分

由①②知,当
时，
.---------------12分

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.

22.(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲 1

证明：（ 1）∵PQ与⊙O相切于点A，∴

∵
∴

∴AC=BC=5

由切割线定理得：

∴
---------------------------5分

（2） 由AC=BC=5，AQ=6 及（1）， 知 QC=9

由
知
∽

∴
∴
. -----------------------10分

23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程

解：　(1)由
得直线l的普通方程为
--------2分

又由
得圆C的直角坐标方程为

即
. ---------5分

(2) 把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，

得
，即

由于
，故可设
是上述方程的两实数根，

所以
又直线l过点P
，A、B两点对应的参数分别为

所以
. ------------------10分

24.(本小题满分10分)选修4—5：

解：(Ⅰ)不等式
的解集为[-2，3]． …………5分 （Ⅱ）若不等式
恒成立，即
恒成立． 而
的最小值为