杨浦区2014学年度第二学期高三年级学业质量调研

数学学科试卷（理科）2015.4

考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号，并将核对后的条形码贴在指定位置上

2.本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分

1.函数
的定义域是 .

2.若集合
，则
的元素个数为 .

3.若
，则
的值是 .

4.
的展开式中的常数项的值是 .

5.某射击选手连续射击5枪命中环数分别为：
，则这组数据的方差为 .

6.对数不等式
的解集是
，则实数
的值为 .

7.极坐标方程
所表示的曲线围成的图形面积为 .

8.如图，根据该程序框图，若输出的
为
，则输入的
的值为 .

9.若正数
满足
，则
的取值范围是 .

10.已知
是不平行的向量，设
，则
与
共线的充要条件是实数
等于 .

11.已知方程
的两根为
，

若
，则实数
的值为 .

12.已知从上海飞往拉萨的航班每天有5班，现有甲、乙、丙三人选在同一天从上海出发去拉萨，则他们之中正好有两个人选择同一航班的概率为 .

13.已知
，在坐标平面中有斜率为
的直线
与圆
相切，且
交
轴的正半轴于点
，交
轴于点
，则
的值为 .

14.对于自然数
的每一个非空子集，我们定义“交替和”如下：把子集中的元素从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如
的交替和是
；则集合
的所有非空子集的交替和的总和为 .

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.

15.“
”是“函数
只有一个零点”的 （ ）

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件

16.在复平面中，满足等式
的
所对应点的轨迹是（ ）

A.双曲线 B.双曲线的一支 C.一条射线 D.两条射线

17.设反比例函数
与二次函数
的图像有且仅有两个不同的公共点
，且
，则
（ ）

A.2或
B.
或
C.2或
D.
或

18.如图，设店
是单位圆上的一个定点，动点
从点
出发，

在圆上按逆时针方向旋转一周，点
所旋转过的弧
的长为
，

弦
的长为
，则函数
的图像大致是（ ）

A. B. C. D.

三 .解答题（本大题满分74）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

19.（本题满分12分）

如图，一条东西走向的大江，其河岸
处有人要渡江到对岸
处，江面上有一座大桥
，已知
在
的西南方向，
在
的南偏西
，
公里.现有两种渡江方案：

方案一：开车从大桥
渡江到
处，然后再到
处；

方案二：直接坐船从
处渡江到对岸
处.

若车速为每小时60公里，船速为每小时45公里（不考虑水流速度），为了尽快到达
处，应选择哪个方案？说明理由.

20.（本题满分14分，其中第一小题7分，第二小题7分）

在棱长为1的正方体
中，点
是棱
的中点，点
是棱
上的动点.

（1）试确定点
的位置，使得
平面
;

（2）当
平面
时，求二面角
的大小（结果用反三角函数表示）.

21.（本题满分14分，其中第一小题4分，第二小题5分，第三小题5分）

已知函数
是奇函数.

（1）求
的值；

（2）求
的反函数
；

（3）对于任意的
，解不等式：
.

22.（本题满分16分，其中第一小题5分，第二小题5分，第三小题6分）

数列
满足
，
（
），令
，
是公比为
的等比数列，设
.

（1）求证：
；

（2）设
的前
项和为
，求
的值；

（3）设
前
项积为
，当
时，
的最大值在
和
的时候取到，求
为何值时，
取到最小值.

23.（本题满分18分，其中第一小题6分，第二小题6分，第三小题6分）

已知抛物线
的焦点
，线段
为抛物线
的一条弦.

（1）若弦
过焦点
，求证：
为定值；

（2）求证:
轴的正半轴上存在定点
，对过点
的任意弦
，都有
为定值；

（3）对于（2）中的点
及弦
，设
，点
在
轴的负半轴上，且满足
，求
点坐标.

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