2015年浦东新区第二次高三数学质量检测

数学试卷（理科）

注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚.

2.本试卷共23道试题，满分150，考试时间120分钟.

一、填空题（本大题共有14题，满分56分）；考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1.不等式
的解为 ..

2.设
是虚数单位，复数
是实数，则实数
.

3.已知一个关于
的二元一次方程组的增广矩阵为
，则
.

4.已知数列
的前
项和
，则该数列的通项公式
.

5.已知
展开式中二项式系数之和为1024，则含
项的系数为 .0

6.已知直线
与
圆相切，则该圆的半径大小为 .

7.在极坐标系中，已知圆
上的任意一点
与点
之间的最小距离为1，则
.

8.若对任意
，不等式
恒成立，则
的取值范围是 .

9.已知球的表面积为
，用一个平面截球，使截面球的半径为2
，则截面与球心的距离是

10.已知随机变量
分别取1、2和3，其中概率
与
相等，且方差
，则概率
的值为 .

11.若函数
的零点
，
为整数，则所以满足条件
的值为 .

12.若正项数列
是以
为公比的等比数列，已知该数列的每一项
的值都大于从
开始的各项和，则公比
的取值范围是 .

13.已知等比数列
的首项
、公比
是关于
的方程
的实数解，若数列
有且只有一个，则实数
的取值集合为 .

14.给定函数
和
，若存在实常数
，使得函数
和
对其公共定义域
上的任何实数
分别满足
和
，则称直线
为函数
和
的“隔离直线”.给出下列四组函数：

①
；②
；

③
；④

其中函数
和
存在“隔离直线”的序号是 .

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）；每小题给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，考生应在答题纸相应的位置上，选对得5分，否则一律不得分.

15.已知
都是实数，那么“
”是“
”的 ( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件



C.充要条件

D.既不充分也不必要条件



16.平面
上存在不同的三点到平面
的距离相等且不为零，则平面
与平面
的位置关系是 ( )

A. 平行

B. 相交

C. 平行或重合

D. 平行或相交



17.若直线
与圆
没有公共点，设点
的坐标
,那过点
的一条直线与椭圆
的公共点的个数为 ( )

A. 0

B. 1

C. 2

D. 1或2



18.如图，正方体
的棱长为1，设
，

对于下列命题：

①当
时，
；

②当
时，
有12种不同取值；

③当
时，
有16种不同的取值；

④
的值仅为
.

其中正确的命题是 ( )

A. ①②

B. ①④

C. ①③④

D. ①②③④





三、解答题（本大题共有5题，满分74分）：解答下列各题必须在答题纸的相应位置上，写出必要的步骤.

19. （本大题共有2个小题，满分12分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分.

已知函数
为实数.

（1）当
时，判断函数
在
上的单调性，并加以证明；

（2）根据实数
的不同取值，讨论函数
的最小值.

20. （本大题共有2个小题，满分12分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分.

如图，在四棱锥
中，底面正方形
为边长为2，
底面
，
为
的中点，
与平面
所成的角为
.

（1）求异面直线
与
所成角的大小（结果用反三角函数表示）；

（2）求点
到平面
的距离.

21. （本大题共有2个小题，满分14分）第（1）题满分6分，第（2）小题满分8分.

一颗人造卫星在地球上空1630千米处沿着圆形轨道匀速运行，每2小时绕地球一周，将地球近似为一个球体，半径为6370千米，卫星轨道所在圆的圆心与地球球心重合，已知卫星与中午12点整通过卫星跟踪站
点的正上空
，12：03时卫星通过
点，（卫星接收天线发出的无线电信号所需时间忽略不计）

(1)求人造卫星在12：03时与卫星跟踪站
之间的距离.（精确到1千米）

(2)求此时天线方向
与水平线的夹角（精确到1分）.

22. （本大题共有3个小题，满分16分）第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分.

已知直线
与圆锥曲线
相交于两点
，与
轴，
轴分别交于
两点，且满足

（1）已知直线
的方程为
，抛物线
的方程为
，求
的值；

（2）已知直线
，椭圆
，求
的取值范围；

（3）已知双曲线
，试问
是否为定点？若是，求点
的坐标；若不是，说明理由.

23. （本大题共有3个小题，满分18分）第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分.

第（3）小题满分8分.

记无穷数列
的前
项
的最大项为
，第
项之后的各项
的最小项为
，令
.

（1）若数列
的通项公式为
，写出
，并求数列
的通项公式；

（2）若数列
的通项公式为
，判断
是否等差数列，若是，求出公差；若不是，请说明理由；

（3）若数列
为公差大于零的等差数列，求证：
是否为等差数列.

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