闵行区2014学年第二学期高三年级质量调研考试

数 学 试 卷（文科）

（满分150分，时间120分钟）

考生注意：

1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、准考证号、姓名等填写清楚．

2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．

3．本试卷共有23道试题．

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．

1．用列举法将方程
的解集表示为 ．

2．若复数
满足
（其中
为虚数单位），则
．

3．双曲线
的两条渐近线的夹角的弧度数为 .

4．若
，且
，则
．

5．二项式
的展开式中，
项的系数为 .

6．已知等比数列
满足
，则
．

7.如果实数
满足线性约束条件
，则
的最小值等于 ．

8．空间一线段AB，若其主视图、左视图、俯视图的长度均为
，则线段AB的长度为 .

9．给出条件：①
，②
，③
，④
．函数
，对任意
，能使
成立的条件的序号是 ．

10．已知数列
满足
，则使
成立的正整数
的一个值为 ．

11．斜率为
的直线与焦点在
轴上的椭圆
交于不同的两点
、
.若点
、
在
轴上的投影恰好为椭圆的两焦点，则该椭圆的焦距为 .

12．函数
在区间
内无零点，则实数
的范围是 .

13．已知点
是半径为
的
上的动点，线段
是
的直径.则
的取值范围为 ．

14．已知函数
，
，若对任意的
，均有
，则实数
的取值范围是 　．

二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得5分，否则一律得0分．

15．如果
，那么下列不等式成立的是 ( )

(A)
. (B)
. (C)
. (D)
.

16．从4个不同的独唱节目和2个不同的合唱节目中选出4个节目编排一个节目单， 要求最后一个节目必须是合唱，则这个节目单的编排方法共有 ( )

(A) 14种. (B) 48种. (C)72种. (D) 120种.

17．函数
的定义域为
，值域为
，则
的最大值是( )

(A)
. (B)
. (C)
. (D)
.

18．如图，已知直线
平面
，垂足为
，在
中，

，点
是边
的中点. 该三

角形在空间按以下条件作自由移动：(1)
，(2)
.

则
的最大值为 (　 　)

(A)
. (B)
. (C)
. (D)
.

三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

19．（本题满分12分）

如图，已知圆锥的底面半径为
，点Q为半圆弧
的中点，点
为母线
的中点．若直线
与
所成的角为
，求此圆锥的表面积．

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分10分．

设三角形
的内角
所对的边长分别是
，且
．

若
不是钝角三角形，求：(1) 角
的范围；(2)
的取值范围．

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．

某油库的设计容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油
万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前
个月的需求量
（万吨）与
的函数关系为
，并且前4个月，区域外的需求量为20万吨．

（1）试写出第
个月石油调出后，油库内储油量
（万吨）与
的函数关系式；

（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定
的取值范围．

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3) 小题满分6分。

已知两动圆
和
（
），把它们的公共点的轨迹记为曲线
，若曲线
与
轴的正半轴的交点为
，且曲线
上的相异两点
满足：
．

（1）求曲线
的方程；

（2）若
的坐标为
，求直线
和
轴的交点
的坐标；

（3）证明直线
恒经过一定点，并求此定点的坐标．

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分7分，第(3)小题满分7分．

各项均为正数的数列
的前
项和为
，且对任意正整数
，都有
．

（1）求数列
的通项公式；

（2）如果等比数列
共有
项，其首项与公比均为
，在数列
的每相邻两项
与
之间插入
个
后，得到一个新的数列
．求数列
中所有项的和；

（3）如果存在
，使不等式
成立，求实数
的范围．

闵行区2014学年第二学期高三年级质量调研考试

数学试卷参考答案与评分标准（文理）

一. 填空题 1．
； 2．
； 3．
； 4．
； 5．（理）
，（文）
；

6．（理）
，（文）
； 7．（理）4，（文）
；8．(理)
，(文)
；9．④；

10．(理)
，(文)
等； 11．
； 12．(文理)
；

13．（理）
，（文）
；14．（文理）
．

二. 选择题 15． B； 16． D； 17．B； 18． C．

三. 解答题

19．[解] 取OA的中点M,连接PM,又点P为母线
的中点

所以
，故
为
与
所成的角．………………………2分

在
中，
，
，………………………4分

由点Q为半圆弧
的中点知
，

在
中，

故
，所以
，
． ………………………8分

所以
，
………………10分

．…………………………………12分

20．[解] （1）因为
，
…………………………………2分

由
得：
…………………………………4分

（2）
…………………………………6分

（
）……………10分

当
时，

当
时，
…………………………………12分

所以

. …………………………………14分

21．[解](1)由条件得
，所以
2分

，（
）． …………………………………6分

（２）因为
，

所以
恒成立 ………………………8分

恒成立 ………………………10分

设
，则：

恒成立，

由
恒成立得

（
时取等号） ………………………12分

恒成立得
（
时取等号）

所以
． ………………………14分

22．[解]（1）（文理）设两动圆的公共点为Q，则有：
．由椭圆的定义可知
的轨迹为椭圆，
．所以曲线
的方程是：
．…4分

（2）（理）证法一：由题意可知：
，设
，
,

当
的斜率不存在时，易知满足条件
的直线
为：
过定点
………………………6分

当
的斜率存在时，设直线
：
，联立方程组：

，把②代入①有：
……………8分

③，
④，

因为
，所以有
，

，把③④代入整理：

，（有公因式m-1）继续化简得：

，
或
（舍），

综合斜率不存在的情况，直线
恒过定点
． ………………………10分

证法二：（先猜后证）由题意可知：
，设
，
,

如果直线
恒经过一定点，由椭圆的对称性可猜测此定点在
轴上，设为
；

取特殊直线
，则直线
的方程为
，

解方程组
得点
，同理得点
，

此时直线
恒经过
轴上的点
（只要猜出定点的坐标给2分）……2分

下边证明点
满足条件

当
的斜率不存在时，直线
方程为：
，

点
的坐标为
，满足条件
；………………