闵行区2014学年第二学期高三年级质量调研考试

数 学 试 卷（文科）

（满分150分，时间120分钟）

考生注意：

1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、准考证号、姓名等填写清楚．

2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．

3．本试卷共有23道试题．

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．

1．已知集合
，
，则
．

2．若复数
满足
（
为虚数单位），则
．

3．函数
,若
，则
．

4．计算
．

5．若
满足
,则
.

6．已知
，
，则
．

7. 若圆锥的侧面积为
，底面面积为
，则该圆锥的体积为 .

8．口袋中有形状、大小都相同的3只白球和1只黑球，现一次摸出2只球，则摸出的两球颜色不相同的概率是 ．

9．已知正方形
的边长为2，
是正方形
四边上的动点，则
的最大值为 ．

10．函数
的最小值为 ．

11．已知函数
,
,记函数
，则方程
的解为　　 　　.

12．已知
是椭圆
和双曲线
的公共焦点，
是它们的一个公共点，且
，则
的最大值为 .

13．在
中，记角
、
、
所对边的边长分别为
、
、
，若
，则下列结论中：

①
是钝角三角形； ②
；

③
； ④
．

其中错误结论的序号是 ．

14．已知数列
满足：对任意
均有
（
为常数，
且
），若
，写出一个满足条件的
的值为 ．

二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得5分，否则一律得0分．

15．已知圆
和直线
，则
是圆
与直线
相切的（ ）

(A)充要条件. (B)充分不必要条件.

(C)必要不充分条件. (D)既不充分也不必要条件.

16．
展开式中各项系数的和为 ( )

(A)
. (B)
. (C)
. (D)
.

17．已知
是定义在
上的函数，下列命题正确的是 ( )

(A)若
在区间
上的图像是一条连续不断的曲线，且在
内有零点，则有
.

(B)若
在区间
上的图像是一条连续不断的曲线，且有
，则其在
内没有零点.

(C)若
在区间
上的图像是一条连续不断的曲线，且有
，则其在
内有零点.

(D) 如果函数
在区间
上的图像是一条连续不断的曲线，且有
，则其在区间
内有零点.

18．数列
是公差
不为零的等差数列，其前
项和为
，若记数据
的方差为
，数据
的方差为
.则 (　 　)

(A)
. (B)
.

(C)
. (D)
与
的大小关系与公差
的正负有关.

三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

19．（本题满分12分）

如图，在直三棱柱
中，
，三棱锥
的体积为
．求直线
与
所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．

某公司生产电饭煲，每年需投入固定成本40万元，每生产1万件还需另投入16万元的变动成本．设该公司一年内共生产电饭煲
万件并全部销售完，每一万件的销售收入为
万元，且
，该公司在电饭煲的生产中所获年利润为
(万元). （注：利润
销售收入
成本）

(1)写出年利润
(万元)关于年产量
(万件)的函数解析式；

(2)为了让年利润
不低于2760万元，求年产量
的取值范围．

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分．

椭圆
的左右焦点分别为
，已知椭圆
上的点
到
的距离之和为
．

（1）求椭圆
的方程；

（2）若椭圆上两点
关于点
对称，求直线
的方程．

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3) 小题满分6分．

已知函数

（1）求函数
的最小正周期；

（2）若存在
满足
，求实数
的取值范围；

（3）求证：任意的
，存在唯一的
，使
成立.

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分．

已知数列
为等差数列，满足
，其前
和为
，数列
为等比数列，且
对任意的
恒成立.

（1）求数列
、
的通项公式；

（2）是否存在
，使得
成立，若存在，求出所有满足条件

的
；若不存在，说明理由；

（3）记集合
，若
中共有5个元素，求实数
的取值范围.

闵行区2014学年第二学期高三年级质量调研考试

数学试卷参考答案与评分标准

一. 填空题 1．
； 2．
； 3．
； 4．
； 5．（理）
，（文）
； 6．
； 7．
；8．(理)
，(文)
；9．(理)
，(文)
； 10．(理)
，(文)
； 11．（理）
，(文)
；12．
； 13．(文理) ④；

14．（理）
，（文）
或
或

二. 选择题 15． B； 16． B； 17．D； 18． A．

三. 解答题

19．（文）

………………………………4分

，
是直线
与直线
所成的角 ……6分

………………………10分

所以直线
与
所成的角为
………………12分

19．（理）法一：
，

平面
，

是直线
与平面
所成的角．…………………4分

设

，

， ……………8分

所以
．…12分

法二：如图，建立空间直角坐标系，设
． 得点
，

，
． 则
，

平面
的法向量为
． …………………4分

设直线
与平面
所成的角为
，

则
，……………8分

所以
．…12分

20． (1)

……6分

(2) 解
………………12分得
时， 所以
.

答：为了让年利润
不低于2760万元，年产量
. …………………14分

21．（文）（1）
………………3分

将点
的坐标代入方程
得

………6分

所以椭圆
的方程为
．…………………………………7分

（2）法一：设点
的坐标分别为

则
，且
………9分

由
得：

………………12分

所以直线
的方程为
………………14分

法二：设点
的坐标分别为

设直线
的方程为
………………9分

将
代入

得

由
得
………………12分

所以直线
的方程为
………………14分

21．（理）(1)因为椭圆
过点
,所以
,解得
……3分

又以
为直径的圆恰好过右焦点
，所以

又

得
，
，所以

而
，所以
得
………………6分

故椭圆
的方程是
． ………………………………7分

（2）法一：设点
的坐标分别为
，

则
，且
………9分

由
得：

所以
所在直线的方程为
………………11分

将
代入
得

………14分

法二：设点
的坐标分别为
，………9分

则

两等式相减得
………………11分

将
代入
得

．……14分

22．（